题目
5.一质点的运动方程为 =2t, =19-2(t)^2(S1)-|||-(1)写出质点的运动轨道方程:-|||-(2)写出 t=2 秒时刻质点的位置矢量,并计算第二秒内的平均速度大小:-|||-(3)计算2秒末质点的瞬时速度和瞬时加速度:-|||-(4)在什么时刻,质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直?这时位矢的x、y分-|||-量各为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：运动轨道方程
根据给定的运动方程 $x=2t$ 和 $y=19-2t^2$，我们可以通过消去时间变量 $t$ 来得到质点的运动轨道方程。首先，从 $x=2t$ 中解出 $t$，得到 $t=x/2$。然后将 $t=x/2$ 代入 $y=19-2t^2$ 中，得到 $y=19-2(x/2)^2$，即 $y=19-x^2/2$。因此，质点的运动轨道方程为 $y=19-x^2/2$。
步骤 2：位置矢量和平均速度
在 $t=2$ 秒时，质点的位置矢量为 $r=2ti+(19-2t^2)j$，代入 $t=2$，得到 $r=4i+11j$。在 $t=1$ 秒时，质点的位置矢量为 $r=2i+17j$。第二秒内的平均速度为 $\Delta r/\Delta t=(r_{t=2}-r_{t=1})/(2-1)=(4i+11j-2i-17j)/1=2i-6j$。
步骤 3：瞬时速度和瞬时加速度
质点的瞬时速度为 $v=dr/dt=2i-4tj$，在 $t=2$ 秒时，瞬时速度为 $v=2i-8j$。质点的瞬时加速度为 $a=dv/dt=-4j$。
步骤 4：位置矢量与速度矢量垂直的时刻
位置矢量与速度矢量垂直的条件是它们的点积为零，即 $r\cdot v=0$。代入 $r=2ti+(19-2t^2)j$ 和 $v=2i-4tj$，得到 $(2t,19-2t^2)\cdot(2,-4t)=0$，即 $4t-4t(19-2t^2)=0$，解得 $t=3$。此时，$x=2t=6$，$y=19-2t^2=1$。
根据给定的运动方程 $x=2t$ 和 $y=19-2t^2$，我们可以通过消去时间变量 $t$ 来得到质点的运动轨道方程。首先，从 $x=2t$ 中解出 $t$，得到 $t=x/2$。然后将 $t=x/2$ 代入 $y=19-2t^2$ 中，得到 $y=19-2(x/2)^2$，即 $y=19-x^2/2$。因此，质点的运动轨道方程为 $y=19-x^2/2$。
步骤 2：位置矢量和平均速度
在 $t=2$ 秒时，质点的位置矢量为 $r=2ti+(19-2t^2)j$，代入 $t=2$，得到 $r=4i+11j$。在 $t=1$ 秒时，质点的位置矢量为 $r=2i+17j$。第二秒内的平均速度为 $\Delta r/\Delta t=(r_{t=2}-r_{t=1})/(2-1)=(4i+11j-2i-17j)/1=2i-6j$。
步骤 3：瞬时速度和瞬时加速度
质点的瞬时速度为 $v=dr/dt=2i-4tj$，在 $t=2$ 秒时，瞬时速度为 $v=2i-8j$。质点的瞬时加速度为 $a=dv/dt=-4j$。
步骤 4：位置矢量与速度矢量垂直的时刻
位置矢量与速度矢量垂直的条件是它们的点积为零，即 $r\cdot v=0$。代入 $r=2ti+(19-2t^2)j$ 和 $v=2i-4tj$，得到 $(2t,19-2t^2)\cdot(2,-4t)=0$，即 $4t-4t(19-2t^2)=0$，解得 $t=3$。此时，$x=2t=6$，$y=19-2t^2=1$。