题目
已知非齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=-1, 4(x)_(1)+3(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=-1 a(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_{3 . 有三个线性无关的解. (Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2; (Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
已知非齐次线性方程组
有三个线性无关的解.
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
(Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
题目解答
答案
(Ⅰ)设
是非齐次方程组的3个线性无关的解,那么
,是Ax=0线性无关的解,所以n-r(A)≥2,即r(A)≤2.显然矩阵A中有2阶子式不为0,又有r(A)≥2,从而秩r(A)=2.
(Ⅱ)对增广矩阵作初等行变换,有
=
.
由题设和(Ⅰ)知,r(A)=r()=2,故友4-2a=0,b+4a-5=0
解出a=2,b=-3
此时→
那么α=
是Ax=b的解,
=
,
=
是Ax=0的基础解系,所以方程组的通解是
(k_{1},k_{2}为任意常数).
解析
步骤 1：证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2
设$α_{1},α_{2},α_{3}$是非齐次方程组的3个线性无关的解，那么$α_{1}-α_{2},α_{1}-α_{3}$是Ax=0线性无关的解，所以n-r(A)≥2，即r(A)≤2。显然矩阵A中有2阶子式不为0，又有r(A)≥2，从而秩r(A)=2。
步骤 2：求a,b的值
对增广矩阵作初等行变换，有$\overline{A}$=1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 7 4 3 5 一 1 -1 $\rightarrow $ -1 $1$ -5 3 a 1 3 b 1 $0$ 1 -a 3 -a b-a a +1
$\rightarrow $ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& -1\\ 0& 1& -1& 5& -3\\ 0& 0& 4-2a& b+4a-5& 4-2a\end{matrix} ] \right.$。
由题设和(Ⅰ)知，r(A)=r($\overline{A}$)=2，故有4-2a=0，b+4a-5=0
解出a=2，b=-3
步骤 3：求方程组的通解
此时$\overline{A}$→1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 $0$ 0 0 0 $0$
那么α=$(2,-3,0,0)_{T}$是Ax=b的解，$η_{1}$=$(-2,1,1,0)_{T}$，$η_{2}$=$(4,-5,0,1)_{T}$是Ax=0的基础解系，所以方程组的通解是$α+k_{1}η_{1}+k_{2}η_{2}$(k_{1},k_{2}为任意常数)。
设$α_{1},α_{2},α_{3}$是非齐次方程组的3个线性无关的解，那么$α_{1}-α_{2},α_{1}-α_{3}$是Ax=0线性无关的解，所以n-r(A)≥2，即r(A)≤2。显然矩阵A中有2阶子式不为0，又有r(A)≥2，从而秩r(A)=2。
步骤 2：求a,b的值
对增广矩阵作初等行变换，有$\overline{A}$=1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 7 4 3 5 一 1 -1 $\rightarrow $ -1 $1$ -5 3 a 1 3 b 1 $0$ 1 -a 3 -a b-a a +1
$\rightarrow $ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& -1\\ 0& 1& -1& 5& -3\\ 0& 0& 4-2a& b+4a-5& 4-2a\end{matrix} ] \right.$。
由题设和(Ⅰ)知，r(A)=r($\overline{A}$)=2，故有4-2a=0，b+4a-5=0
解出a=2，b=-3
步骤 3：求方程组的通解
此时$\overline{A}$→1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 $0$ 0 0 0 $0$
那么α=$(2,-3,0,0)_{T}$是Ax=b的解，$η_{1}$=$(-2,1,1,0)_{T}$，$η_{2}$=$(4,-5,0,1)_{T}$是Ax=0的基础解系，所以方程组的通解是$α+k_{1}η_{1}+k_{2}η_{2}$(k_{1},k_{2}为任意常数)。