题目
6、int_(0)^1dxint_(0)^sqrt(1-x^(2))f(x,y)dy化为极坐标下的二次积分_____.
6、$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}f(x,y)dy$化为极坐标下的二次积分_____.
题目解答
答案
积分区域为第一象限内单位圆的四分之一，即 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$。在极坐标中，该区域对应 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$。
将直角坐标积分转换为极坐标积分，注意面积元素 $dx\,dy$ 变为 $r\,dr\,d\theta$，被积函数变为 $f(r\cos\theta, r\sin\theta)$。
因此，极坐标下的二次积分为：
\[
\boxed{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta, r\sin\theta)r\,dr}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域为第一象限内单位圆的四分之一，即 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$。在极坐标中，该区域对应 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$。
步骤 2：转换坐标系
将直角坐标积分转换为极坐标积分，注意面积元素 $dx\,dy$ 变为 $r\,dr\,d\theta$，被积函数变为 $f(r\cos\theta, r\sin\theta)$。
步骤 3：写出极坐标下的二次积分
根据上述转换，极坐标下的二次积分为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta, r\sin\theta)r\,dr \]
积分区域为第一象限内单位圆的四分之一，即 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$。在极坐标中，该区域对应 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$。
步骤 2：转换坐标系
将直角坐标积分转换为极坐标积分，注意面积元素 $dx\,dy$ 变为 $r\,dr\,d\theta$，被积函数变为 $f(r\cos\theta, r\sin\theta)$。
步骤 3：写出极坐标下的二次积分
根据上述转换，极坐标下的二次积分为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta, r\sin\theta)r\,dr \]