解矩阵方程 AX+B=X ,其中A= (} 0& 1& 0 -1& 1& 1 -1& 0& -1 ) .

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解方法，涉及矩阵的线性运算、逆矩阵的应用以及矩阵方程的变形技巧。

解题核心思路：

1. 方程变形：将原方程整理为形如$(A - I)X = -B$的标准矩阵方程形式，其中$I$为单位矩阵。
2. 可逆性判断：验证矩阵$A - I$是否可逆（即行列式是否非零）。
3. 求逆矩阵：若$A - I$可逆，求其逆矩阵$(A - I)^{-1}$。
4. 求解X：利用逆矩阵直接求解$X = -(A - I)^{-1}B$。

破题关键点：

• 正确变形方程，将所有含$X$的项集中到一边。
• 准确计算行列式，判断矩阵是否可逆。
• 逆矩阵的求解，可通过伴随矩阵法或初等行变换实现。

步骤1：方程变形

原方程为$AX + B = X$，移项得：
$AX - X = -B$
提取公共因子$X$，得：
$(A - I)X = -B$
其中$I$为3阶单位矩阵。

步骤2：验证矩阵可逆性

计算$A - I$的行列式：
$A - I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$
按第一行展开行列式：
$\begin{aligned}|A - I| &= (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \cdots \\ &= (-1) \cdot 0 - 1 \cdot [(-1)(-2) - (1)(-1)] + 0 \\ &= -3 \neq 0 \end{aligned}$
因此，$A - I$可逆。

步骤3：求逆矩阵$(A - I)^{-1}$

通过初等行变换或伴随矩阵法可求得：
$(A - I)^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

步骤4：求解X

将$(A - I)^{-1}$与$-B$相乘：
$\begin{aligned}X &= -(A - I)^{-1}B \\&= -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$