题目

一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：（1）X表示两次中所得的最小点数；（2）Y表示两次所得点数之差的绝对值.

一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：

（1）X表示两次中所得的最小点数；

（2）Y表示两次所得点数之差的绝对值.

题目解答

答案

（1） $P\left(X=1\right)=\frac{C_2^1C_5^1+C_2^2}{6^2}=\frac{11}{36}$ ， $P\left(X=2\right)=\frac{C_2^1C_4^1+C_2^2}{6^2}=\frac{9}{36}$ ， $P\left(X=3\right)=\frac{C_2^1C_3^1+C_2^2}{6^2}=\frac{7}{36}$ ， $P\left(X=4\right)=\frac{C_2^1C_2^1+C_2^2}{6^2}=\frac{5}{36}$ ， $P\left(X=5\right)=\frac{C_2^1C_1^1+C_2^2}{6^2}=\frac{3}{36}$ ， $P\left(X=6\right)=\frac{C_2^2}{6^2}=\frac{1}{36}$ ；

（2） $P\left(Y=0\right)=\frac{C_6^1}{6^2}=\frac{1}{6}$ ， $P\left(Y=1\right)=\frac{2\times C_5^1}{6^2}=\frac{10}{36}$ ， $P\left(Y=2\right)=\frac{2\times C_4^1}{6^2}=\frac{8}{36}$ ， $P\left(Y=3\right)=\frac{2\times C_3^1}{6^2}=\frac{6}{36}$ ， $P\left(Y=4\right)=\frac{2\times C_2^1}{6^2}=\frac{4}{36}$ ， $P\left(Y=5\right)=\frac{2\times C_1^1}{6^2}=\frac{2}{36}$ .

解析

步骤 1：确定X的可能取值
X表示两次中所得的最小点数，因此X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。

步骤 2：计算X的分布列
对于X的每个可能取值，计算其概率。例如，当X=1时，表示至少有一次骰子的点数为1，因此有以下几种情况：第一次为1，第二次为1到6中的任意一个；第一次为2到6中的任意一个，第二次为1。因此，$P(X=1)=\dfrac {{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}+{C}_{2}^{2}}{{6}^{2}}=\dfrac {11}{36}$。同理，可以计算出其他取值的概率。

步骤 3：确定Y的可能取值
Y表示两次所得点数之差的绝对值，因此Y的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5。

步骤 4：计算Y的分布列
对于Y的每个可能取值，计算其概率。例如，当Y=0时，表示两次骰子的点数相同，因此有6种情况，即两次都为1，两次都为2，...，两次都为6。因此，$P(Y=0)=\dfrac {{C}_{6}^{1}}{{6}^{2}}=\dfrac {1}{6}$。同理，可以计算出其他取值的概率。