计算int dfrac (dx)(cos x(1+sin x))

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分式分解、三角恒等式替换及变量代换等技巧。

解题核心思路：

1. 分子分母同乘$\cos x$，将积分转化为关于$\sin x$的表达式，便于变量代换。
2. 利用三角恒等式$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$简化分母。
3. 变量代换$u = \sin x$，将积分转化为有理分式的积分。
4. 分式分解将复杂分式拆分为简单分式之和，分别积分后合并结果。

破题关键点：

• 分子分母同乘$\cos x$是关键的第一步，为后续变量代换创造条件。
• 分式分解的正确性直接影响后续积分的复杂度，需确保分解后的分式形式正确。

步骤1：分子分母同乘$\cos x$
原积分变形为：
$\int \frac{\cos x}{\cos^2 x (1 + \sin x)} dx = \int \frac{\cos x}{(1 - \sin^2 x)(1 + \sin x)} dx$

步骤2：变量代换
令$u = \sin x$，则$du = \cos x dx$，积分变为：
$\int \frac{1}{(1 - u^2)(1 + u)} du$

步骤3：分式分解
将分式拆分为：
$\frac{1}{(1 - u^2)(1 + u)} = \frac{1}{(1 - u)(1 + u)^2} = \frac{A}{1 + u} + \frac{B}{(1 + u)^2} + \frac{C}{1 - u}$
通过通分比较系数，可得：
$A = \frac{1}{2}, \quad B = \frac{1}{2}, \quad C = \frac{1}{2}$
因此：
$\frac{1}{(1 - u)(1 + u)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{u}{1 - u^2} + \frac{1}{1 + u} + \frac{1}{(1 + u)^2} \right)$

步骤4：分别积分

1. 第一项积分：
   $\int \frac{u}{1 - u^2} du = -\frac{1}{2} \ln |1 - u^2| + C_1$
2. 第二项积分：
   $\int \frac{1}{1 + u} du = \ln |1 + u| + C_2$
3. 第三项积分：
   $\int \frac{1}{(1 + u)^2} du = -\frac{1}{1 + u} + C_3$

步骤5：合并结果并代回变量
综合上述结果，整理得：
$-\frac{1}{4} \ln |1 - u^2| + \frac{1}{2} \ln |1 + u| - \frac{1}{2(1 + u)} + C$
将$u = \sin x$代回，并利用$\sqrt{1 - u^2} = \cos x$化简对数项，最终结果为：
$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right| + \frac{1}{2(1 + \sin x)} + C$