题目
已知DX=9, DY=25，（1）若X与Y相互独立；（2）若DX=9, DY=25，求DX=9, DY=25
已知
，
（1）若X与Y相互独立；
（2）若
，
求
题目解答
答案
（1）X与Y相互独立，则
，则
；
（2）
，则
.
解析
步骤 1：计算D(X-2Y)的公式
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)$。因此，对于$D(X-2Y)$，我们有$D(X-2Y)=D(X)+(-2)^2D(Y)+2(-2)Cov(X,Y)$，即$D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X,Y)$。
步骤 2：计算当X与Y相互独立时的D(X-2Y)
当X与Y相互独立时，$Cov(X,Y)=0$。因此，$D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X,Y)=9+4\times 25-4\times 0=9+100=109$。
步骤 3：计算当$Cov(X,Y)=0.2\sqrt{DX}\sqrt{DY}$时的D(X-2Y)
当$Cov(X,Y)=0.2\sqrt{DX}\sqrt{DY}$时，$Cov(X,Y)=0.2\times \sqrt{9}\times \sqrt{25}=0.2\times 3\times 5=3$。因此，$D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X,Y)=9+4\times 25-4\times 3=9+100-12=97$。
根据方差的性质，对于随机变量X和Y，以及常数a和b，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)$。因此，对于$D(X-2Y)$，我们有$D(X-2Y)=D(X)+(-2)^2D(Y)+2(-2)Cov(X,Y)$，即$D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X,Y)$。
步骤 2：计算当X与Y相互独立时的D(X-2Y)
当X与Y相互独立时，$Cov(X,Y)=0$。因此，$D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X,Y)=9+4\times 25-4\times 0=9+100=109$。
步骤 3：计算当$Cov(X,Y)=0.2\sqrt{DX}\sqrt{DY}$时的D(X-2Y)
当$Cov(X,Y)=0.2\sqrt{DX}\sqrt{DY}$时，$Cov(X,Y)=0.2\times \sqrt{9}\times \sqrt{25}=0.2\times 3\times 5=3$。因此，$D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X,Y)=9+4\times 25-4\times 3=9+100-12=97$。