题目
[题目]把长为24cm的铁丝剪成两段,一段作成圆,-|||-另一段作成正方形,应如何剪法才能使圆和正方形-|||-面积之和最小?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量
设剪成正方形铁丝的长度为 \(x\)，则剪成圆的铁丝长度为 \(24-x\)。
步骤 2：计算正方形和圆的面积
正方形的边长为 \(x/4\)，所以正方形的面积为 \((x/4)^2 = x^2/16\)。
圆的周长为 \(24-x\)，所以圆的半径为 \((24-x)/(2\pi)\)，圆的面积为 \(\pi((24-x)/(2\pi))^2 = (24-x)^2/(4\pi)\)。
步骤 3：求面积之和的最小值
面积之和 \(S = x^2/16 + (24-x)^2/(4\pi)\)。
为了求 \(S\) 的最小值，我们对 \(S\) 关于 \(x\) 求导，并令导数等于零。
\[S' = \frac{2x}{16} - \frac{2(24-x)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{24-x}{2\pi}\]
令 \(S' = 0\)，解得 \(x = \frac{192}{\pi + 8}\)。
步骤 4：验证最小值
由于 \(S'' = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi} > 0\)，所以 \(S\) 在 \(x = \frac{192}{\pi + 8}\) 处取得最小值。
设剪成正方形铁丝的长度为 \(x\)，则剪成圆的铁丝长度为 \(24-x\)。
步骤 2：计算正方形和圆的面积
正方形的边长为 \(x/4\)，所以正方形的面积为 \((x/4)^2 = x^2/16\)。
圆的周长为 \(24-x\)，所以圆的半径为 \((24-x)/(2\pi)\)，圆的面积为 \(\pi((24-x)/(2\pi))^2 = (24-x)^2/(4\pi)\)。
步骤 3：求面积之和的最小值
面积之和 \(S = x^2/16 + (24-x)^2/(4\pi)\)。
为了求 \(S\) 的最小值，我们对 \(S\) 关于 \(x\) 求导，并令导数等于零。
\[S' = \frac{2x}{16} - \frac{2(24-x)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{24-x}{2\pi}\]
令 \(S' = 0\)，解得 \(x = \frac{192}{\pi + 8}\)。
步骤 4：验证最小值
由于 \(S'' = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi} > 0\)，所以 \(S\) 在 \(x = \frac{192}{\pi + 8}\) 处取得最小值。