[题目]设 z=z(x,y) 是由 ^2-6xy+10(y)^2-2yz-(z)^2+18=0-|||-确定的函数,求 z=z(x,y) 的极值点和极值.

考查要点：本题主要考查隐函数求极值的方法，涉及多元函数的偏导数计算、驻点求解以及极值的判断。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：利用隐函数定理，对给定方程分别对$x$和$y$求偏导，得到$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$的表达式。
2. 驻点条件：令偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}=0$和$\frac{\partial z}{\partial y}=0$，联立原方程，解出可能的极值点坐标。
3. 验证极值：通过代入原方程验证解的合理性，确定极值的存在性。

破题关键点：

• 正确求偏导：注意隐函数求导时分子和分母的符号及组合。
• 联立方程组：将驻点条件与原方程联立，消元求解$x, y, z$的值。
• 代数运算准确性：在解二次方程时需仔细处理符号，避免遗漏解。

步骤1：对$x$求偏导

对原方程$x^2 -6xy +10y^2 -2yz -z^2 +18=0$两边对$x$求偏导：
$2x -6y -2y\frac{\partial z}{\partial x} -2z\frac{\partial z}{\partial x} = 0$
整理得：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x -6y}{2y + 2z} = \frac{x -3y}{y + z}$
令$\frac{\partial z}{\partial x} = 0$，得：
$x -3y = 0 \quad \text{(1)}$

步骤2：对$y$求偏导

对原方程两边对$y$求偏导：
$-6x +20y -2z -2y\frac{\partial z}{\partial y} -2z\frac{\partial z}{\partial y} = 0$
整理得：
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-6x +20y -2z}{2y + 2z} = \frac{-3x +10y -z}{y + z}$
令$\frac{\partial z}{\partial y} = 0$，得：
$-3x +10y -z = 0 \quad \text{(2)}$

步骤3：联立方程组

联立方程(1)和(2)，并代入原方程：

1. 由(1)得$x = 3y$，代入(2)得：
   $-3(3y) +10y -z = 0 \implies z = y$
2. 将$x = 3y$和$z = y$代入原方程：
   $(3y)^2 -6(3y)y +10y^2 -2y \cdot y -y^2 +18 = 0$
   化简得：
   $-2y^2 +18 = 0 \implies y^2 = 9 \implies y = 3 \text{ 或 } y = -3$
   对应解为：
   • 当$y = 3$时，$x = 9$，$z = 3$；
   • 当$y = -3$时，$x = -9$，$z = -3$。

步骤4：验证极值

将解代入原方程验证，均满足方程。因此，$(9,3,3)$和$(-9,-3,-3)$为极值点，对应极值分别为$3$和$-3$。