【题目】设离散型随机变量的概率分布为：P(X= 0)=0.5,P(X=1)=0.3,P(X=3)=0.2,求X的分布 函数及P(X≤2)。

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布函数的定义及计算，以及利用分布函数求特定概率。

解题核心思路：

1. 分布函数定义：分布函数$F(x) = P(X \leq x)$，需根据随机变量$X$的取值分段讨论。
2. 分段处理：离散型随机变量的取值为离散点，因此分布函数在这些点处发生跳跃，跳跃高度为对应点的概率。
3. 区间划分：根据$X$的可能取值$0,1,3$，将实数轴划分为$x < 0$、$0 \leq x < 1$、$1 \leq x < 3$、$x \geq 3$四个区间。

破题关键点：

• 正确划分区间：明确每个区间内$X$的取值情况。
• 累加概率：在每个区间内，将所有小于等于当前$x$的取值对应的概率相加。

分布函数的构造

1. 当$x < 0$时：
   $X$的所有取值均大于$x$，因此$F(x) = P(X \leq x) = 0$。

2. 当$0 \leq x < 1$时：
   $X$的取值中只有$0$满足$X \leq x$，因此：
   $F(x) = P(X = 0) = 0.5$

3. 当$1 \leq x < 3$时：
   $X$的取值中$0$和$1$均满足$X \leq x$，因此：
   $F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.5 + 0.3 = 0.8$

4. 当$x \geq 3$时：
   $X$的所有取值均满足$X \leq x$，因此：
   $F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 3) = 0.5 + 0.3 + 0.2 = 1$

计算$P(X \leq 2)$

根据分布函数的定义，$P(X \leq 2) = F(2)$。
由于$2$属于区间$1 \leq x < 3$，对应$F(2) = 0.8$。