题目
2.计算下列第二类曲线积分.-|||-(1) =(int )_(L)^-(x)^--2xdx+2((x)^2-1)ydy ,其中L是曲线 =sin x 上从点(0,0)到点(π,0)-|||-的一段.-|||-(2) =(int )_(t)^x((e)^xsin y-b(x+y))dx+((e)^zcos y-ax)dy 其中a,b为正常数,L为从点-|||-A(2a,0)沿曲线 =sqrt (2ax-{x)^2} 到点O(0,0)的弧;-|||-(3) =(int )_(L)^3(x)^2ydx+((x)^3+x-2y)dy-|||-(3x^2ydx+(x^3+x-2y)dy,其中L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 ^2+{y)^2=-|||-2x到点(2,0),再沿圆周 ^2+(y)^2=4 到点(0,2)的曲线段.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查第二类曲线积分的计算方法，特别是利用格林公式将曲线积分转化为二重积分的能力，以及处理非闭合路径时的补线技巧。
解题核心思路：
- 判断是否满足格林公式条件：若向量场满足$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则积分与路径无关；否则需构造闭合路径应用格林公式。
- 补线构造闭合区域：对非闭合路径，补适当线段形成闭合区域，利用格林公式计算闭合积分，再减去补线积分。
- 参数化积分路径：当无法直接应用格林公式时，通过参数化曲线转化为定积分计算。
第（1）题
关键步骤：
- 验证非保守场：$\frac{\partial P}{\partial y} = 0 \neq \frac{\partial Q}{\partial x} = 4xy$，需直接计算。
- 参数化曲线：$y = \sin x$，$dy = \cos x \, dx$，积分区间$x \in [0, \pi]$。
- 代入积分表达式：
$I = \int_0^\pi \left[(x^2 - 2x) + 2(x^2 - 1)\sin x \cdot \cos x \right] dx$ - 分项计算：
- 第一项：$\int_0^\pi (x^2 - 2x) dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^\pi = \frac{\pi^3}{3} - \pi^2$
- 第二项：利用$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$，分部积分后结果为$-\frac{\pi^2}{2}$
最终结果：$I = -\dfrac{\pi^2}{2}$
第（2）题
关键步骤：
- 应用格林公式：补线段$OA$（从$O(0,0)$到$A(2a,0)$）形成闭合区域（半圆）。
- 计算闭合积分：
$\oint_{L+OA} = \iint_D (a - b) \, dA = (a - b) \cdot \frac{\pi a^2}{2}$ - 计算补线积分：$\int_{OA} = -2a^2b$
- 原积分：$I = \frac{\pi a^2}{2}(a - b) + 2a^2b = \left(\frac{\pi}{2} + 2\right)a^2b - \frac{\pi}{2}a^3$
第（3）题
关键步骤：
- 构造闭合路径：补线段$C$（从$(0,2)$到$(0,0)$）形成闭合区域。
- 应用格林公式：
$\oint_{L+C} = \iint_D 1 \, dA = \frac{\pi}{2}$ - 计算补线积分：$\int_C = 4$
- 原积分：$I = \frac{\pi}{2} - 4$