题目
(4)对应于n阶方阵A的每个k重特征值,A有m个线性无关的特征向量,则( ).A.当m=k时,A与对角阵相似 B.当m>k时,A与对角阵相似C.当m<k时,A与对角阵相似 D.A是否与对角阵相似,与k,m无关
(4)对应于n阶方阵A的每个k重特征值,A有m个线性无关的特征向量,则( ).
A.当m=k时,A与对角阵相似 B.当m>k时,A与对角阵相似
C.当m<k时,A与对角阵相似 D.A是否与对角阵相似,与k,m无关
题目解答
答案
根据题意,A的每个k重特征值都有m个线性无关的特征向量.由于特征值的重数之和不超过n,所以k*m≤n.
当m=k时,有k*m=
≤n,即m≤n/k.由于A有m个线性无关的特征向量,所以m≤n/k≤n,即m=n/k.
当m>k时,有k*m>≤n,即m>n/k.由于A有m个线性无关的特征向量,所以m>n/k>n,与题意矛盾.
当m<k时,有k*m<≤n,即m<n/k.由于A有m个线性无关的特征向量,所以m<n/k<n,与题意矛盾.
综上所述,只有当m=k时,A与对角阵相似.选项A为正确答案.
解析
考查要点：本题主要考查矩阵对角化的条件，即特征值的几何重数与代数重数的关系。
解题核心：矩阵$A$可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于其代数重数。题目中给出每个$k$重特征值对应$m$个线性无关的特征向量，需判断$m$与$k$的关系对对角化的影响。
关键点：
- 几何重数不超过代数重数，即$m \leq k$；
- 当且仅当$m = k$时，特征值的几何重数等于代数重数，此时矩阵可对角化。
选项分析：
- 选项A：当$m = k$时，每个$k$重特征值的几何重数等于代数重数，满足对角化条件，正确。
- 选项B：当$m > k$时，几何重数超过代数重数，违背基本性质，矛盾，错误。
- 选项C：当$m < k$时，几何重数小于代数重数，无法保证对角化，错误。
- 选项D：对角化与$m, k$无关的表述错误，因为对角化直接依赖于$m$与$k$的关系。
结论：只有选项A正确。