题目
设事件 A, B 的概率分别为 (1)/(3) 和 (1)/(2)，求在下列 3 种情况下 P(B overline(A)) 的值.(1) A 与 B 互斥.(2) A subset B.(3) P(AB) = (1)/(8).
设事件 $A, B$ 的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$，求在下列 3 种情况下 $P(B \overline{A})$ 的值. (1) $A$ 与 $B$ 互斥. (2) $A \subset B$. (3) $P(AB) = \frac{1}{8}$.
题目解答
答案
我们来逐步分析题目中三种不同情况下的 $ P(B \overline{A}) $ 值。首先明确几个概念：
- $ P(A) = \frac{1}{3} $
- $ P(B) = \frac{1}{2} $
- $ \overline{A} $ 表示事件 $ A $ 的补事件，即 $ A $ 不发生。
- $ B \overline{A} $ 表示事件 $ B $ 发生且 $ A $ 不发生。
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## **第 (1) 问：A 与 B 互斥**
**互斥**的含义是：$ A $ 和 $ B $ 不能同时发生，即 $ P(AB) = 0 $。
我们要求的是 $ P(B \overline{A}) $，即 $ B $ 发生但 $ A $ 不发生。
由于 $ A $ 与 $ B $ 互斥，$ B $ 发生时，$ A $ 一定不发生，因此：
$$
P(B \overline{A}) = P(B)
$$
因为只要 $ B $ 发生，$ A $ 就一定不发生。
所以：
$$
P(B \overline{A}) = \frac{1}{2}
$$
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## **第 (2) 问：A ⊂ B**
**A ⊂ B** 的含义是：事件 $ A $ 是事件 $ B $ 的子集，即 $ A $ 发生时，$ B $ 一定发生。
我们要计算的是 $ P(B \overline{A}) $，即 $ B $ 发生但 $ A $ 不发生。
我们可以通过公式：
$$
P(B \overline{A}) = P(B) - P(AB)
$$
由于 $ A \subset B $，所以 $ AB = A $，即：
$$
P(AB) = P(A) = \frac{1}{3}
$$
所以：
$$
P(B \overline{A}) = P(B) - P(A) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
$$
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## **第 (3) 问：P(AB) = 1/8**
我们仍然使用公式：
$$
P(B \overline{A}) = P(B) - P(AB)
$$
已知 $ P(B) = \frac{1}{2} $，$ P(AB) = \frac{1}{8} $
所以：
$$
P(B \overline{A}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
$$
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## **最终答案总结**
- (1) $ P(B \overline{A}) = \boxed{\frac{1}{2}} $
- (2) $ P(B \overline{A}) = \boxed{\frac{1}{6}} $
- (3) $ P(B \overline{A}) = \boxed{\frac{3}{8}} $
解析
本题主要考察事件概率的基本计算，涉及互斥事件、事件包含关系以及概率的减法公式，关键是理解$B\overline{A}$（事件$B$发生且$A$不发生）的概率计算方法。
核心公式与概念
- $B\overline{A}$表示“$B$发生但$A$A$不发生”，其概率可通过**减法公式**计算：$P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB)$（因为$B = AB \cup B\overline{A}$，且$AB$与$B\overline{A}$互斥）。
- 互斥事件：若$A$与$B$互斥，则$AB = \emptyset$，故$P(AB)=0$。
- 事件包含：若$A\subset B$，则$AB = A$，故$P(AB)=P(A)$。
分情况计算
(1) $A$与$B$互斥
互斥意味着$A$和$B$不能同时发生，即$P(AB)=0$。
根据减法公式：
$P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$
(2) $A\subset B$
$A$是$B$的子集，即$A$发生时$B$一定发生，故$AB=A$，$P(AB)=P(A)=\frac{1}{3}$。
代入减法公式：
$P(B\overline{A}) = P(B) - P(A) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
(3) $P(AB)=\frac{1}{8}$
直接使用减法公式，代入已知概率：
$P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB) = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$