求定积分(int )_(1)^sqrt (3)dfrac (1)({x)^2sqrt (1+{x)^2}}dx

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过三角替换法处理含有$\sqrt{1+x^2}$的积分表达式。

解题核心思路：

1. 三角替换：当积分中出现$\sqrt{1+x^2}$时，令$x = \tan t$，可将根号部分转化为$\sec t$，简化积分形式。
2. 变量替换：通过替换$u = \sin t$，将积分转化为更易处理的形式。
3. 定积分计算：代入上下限并化简，注意三角函数值的准确计算。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量：三角替换$x = \tan t$是关键，需正确转换积分上下限。
• 化简积分表达式：利用三角恒等式$\tan^2 t + 1 = \sec^2 t$，逐步简化被积函数。
• 有理化处理：最终结果需化简为最简形式，注意分母有理化。

步骤1：三角替换
令$x = \tan t$，则$dx = \sec^2 t \, dt$。
当$x = 1$时，$t = \frac{\pi}{4}$；当$x = \sqrt{3}$时，$t = \frac{\pi}{3}$。
积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\tan^2 t \cdot \sec t} \cdot \sec^2 t \, dt = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec t}{\tan^2 t} \, dt.$

步骤2：化简被积函数
将$\tan t$和$\sec t$用$\sin t$和$\cos t$表示：
$\frac{\sec t}{\tan^2 t} = \frac{\frac{1}{\cos t}}{\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{\cos t}{\sin^2 t}.$
积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt.$

步骤3：变量替换
令$u = \sin t$，则$du = \cos t \, dt$。积分变为：
$\int_{u(\frac{\pi}{4})}^{u(\frac{\pi}{3})} \frac{1}{u^2} \, du = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{-2} \, du.$

步骤4：计算积分
积分结果为：
$-\frac{1}{u} \Big|_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{2}}.$

步骤5：化简结果
有理化后：
$-\frac{2\sqrt{3}}{3} + \sqrt{2} = \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{3}.$