若 sum _(n=1)^infty (a)_(n)((x+1))^n 在 x=1 处收敛,则该级数在 x=-2 处 () .-|||-(A)发散 (B)条件收敛-|||-(C)绝对收敛 (D)敛散性不确定

本题考查幂级数的收敛性质。解题的关键思路是利用幂级数的阿贝尔定理来判断级数在不同点的敛散性。

阿贝尔定理指出：若幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}(x - x_{0})^{n}$在$x = x_{1}(x_{1}\neq x_{0})$处收敛，则对于满足$\vert x - x_{0}\vert\lt\vert x_{1}-x_{0}\vert$的一切$x$，幂级数绝对收敛；若幂级数在$x = x_{1}$处发散，则对于满足$\vert x - x_{0}\vert\gt\vert x_{1}-x_{0}\vert$的一切$x$，幂级数发散。

对于给定的幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x + 1)}^{n}$，其中心为$x_{0}=-1$。已知该级数在$x = 1$处收敛，此时$\vert1-(-1)\vert = 2$。

现在要判断级数在$x=-2$处的敛散性，计算$x=-2$到中心$x_{0}=-1$的距离$\vert - 2-(-1)\vert=\vert - 2 + 1\vert = 1$。

因为$1\lt2$，即$\vert - 2-(-1)\vert\lt\vert1-(-1)\vert$，根据阿贝尔定理可知，幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x + 1)}^{n}$在$x=-2$处绝对收敛。