(12)曲线 =dfrac (x+4sin x)(5x-2cos x) 的水平渐近线方程为 __

水平渐近线的求解关键在于分析函数在$x$趋向于正无穷或负无穷时的极限值。对于分式函数，当分子和分母的最高次项次数相同时，水平渐近线为最高次项系数之比。本题中，分子和分母的主导项均为一次项，因此只需比较$x$和$5x$的系数，即可快速确定渐近线方程。

1. 分析分子和分母的主导项
   当$x$趋向于正无穷或负无穷时，分子$x + 4\sin x$中的$x$项主导，因为$\sin x$的取值范围为$[-1, 1]$，其绝对值远小于$x$；同理，分母$5x - 2\cos x$中的$5x$项主导，$\cos x$的绝对值同样远小于$5x$。

2. 简化分式
   将分子和分母的主导项代入分式，得到近似表达式：
   $\frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$

3. 验证极限
   严格计算极限：
   $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 4\sin x}{5x - 2\cos x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{4\sin x}{x}}{5 - \frac{2\cos x}{x}} = \frac{1 + 0}{5 - 0} = \frac{1}{5}$
   其中，$\frac{\sin x}{x}$和$\frac{\cos x}{x}$均趋向于$0$，因为$\sin x$和$\cos x$有界，而分母$x$趋向于无穷大。