函数 f(x) = (x-1)/(ln x) + sqrt(16-x^2) 的定义域（ ）A. (0,4)B. [1,4]C. (1,4)D. [0,4)

我们来分析函数： $$ f(x) = \frac{x-1}{\ln x} + \sqrt{16 - x^2} $$ 要求函数的**定义域**，即找出所有使得函数有意义的实数 $ x $。 --- ### 第一步：分析各部分的定义域 函数由两个部分组成： 1. **分式部分：** $\frac{x-1}{\ln x}$ 2. **根号部分：** $\sqrt{16 - x^2}$ 我们分别分析它们的定义域，然后取**交集**。 --- ### 一、分式部分：$\frac{x-1}{\ln x}$ 这个分式要**有意义**，需要满足两个条件： - **分母不能为零**，即 $\ln x \ne 0$ - **对数函数 $\ln x$ 有定义**，即 $x > 0$ 所以： - $x > 0$ - $\ln x \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$ 因此，分式部分的定义域是： $$ x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) $$ --- ### 二、根号部分：$\sqrt{16 - x^2}$ 根号下的表达式必须**非负**，即： $$ 16 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 16 \Rightarrow -4 \le x \le 4 $$ 所以，根号部分的定义域是： $$ x \in [-4, 4] $$ --- ### 三、取交集 我们要求两个部分同时有意义，所以取它们的交集： - 分式部分：$(0, 1) \cup (1, +\infty)$ - 根号部分：$[-4, 4]$ 交集为： $$ (0, 1) \cup (1, 4] $$ 注意：在 $x = 4$ 时，根号下是 0，没问题；但分式部分在 $x = 1$ 时分母为 0，不合法。 --- ### 最终答案： $$ \boxed{(0, 1) \cup (1, 4]} $$ 这个区间不在选项中，我们来检查选项： - A. (0,4) ❌（包含 $x = 1$，但分式在 $x = 1$ 无定义） - B. [1,4] ❌（包含 $x = 1$，但分式在 $x = 1$ 无定义） - C. (1,4) ❌（不包含 $x = 4$，但 $x = 4$ 是合法的） - D. [0,4) ❌（包含 $x = 0$，但 $\ln x$ 在 $x = 0$ 无定义） **没有一个选项完全匹配我们求出的定义域**，但如果我们考虑选项中最接近的，最合理的答案是： --- ### 最接近正确答案的选项是： $$ \boxed{\text{C. } (1,4)} $$ 虽然它没有包含 $x = 4$，但其他选项都包含了非法点（如 $x = 0$ 或 $x = 1$）。所以如果必须从选项中选一个最合理的，选 **C**。 --- ### 最终答案：$\boxed{C}$