描述某系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t)求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y'(0)= -1时的全解;(2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y'(0)=0时的全解。
描述某系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t)
求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y'(0)= -1时的全解;
(2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y'(0)=0时的全解。
题目解答
答案
解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2,λ2= – 3。
齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
当f(t) = 2e –t时,其特解可设为 yp(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1
于是特解为 yp(t) = e – t
全解为: y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y'(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3 ,C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
(2)齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时,其指数与特征根之一相重。故其特解为
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
代入微分方程可得 P1e–2t = e–2t
所以 P1= 1 但P0不能求得。特解为
yp(t) = (t + P0)e–2t
全解为
y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t
将初始条件代入,得
y(0) = (C1+P0) + C2=1 ,y'(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0
上式第一项的系数C1+P0= 2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。
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解析
考查要点：本题考察二阶线性微分方程的求解方法，包括齐次解、特解的构造以及初始条件的应用。
解题思路：
- 齐次方程求解：通过特征方程法求得齐次解；
- 特解构造：根据非齐次项形式选择特解形式，注意当非齐次项与齐次解重复时需调整特解形式；
- 全解合成：齐次解与特解之和；
- 初始条件代入：确定待定常数，得到最终解。
关键点：
- 特征根的计算；
- 特解形式的选择（非齐次项与齐次解重复时需乘以$t^k$）；
- 待定系数法的应用；
- 初始条件的代入技巧。
第（1）题
齐次解
特征方程为 $\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$，解得根 $\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -3$，齐次解为：
$y_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t}$
特解
非齐次项 $f(t) = 2e^{-t}$，因 $-1$ 不是特征根，特解设为 $y_p(t) = P e^{-t}$。代入方程解得 $P = 1$，故特解为：
$y_p(t) = e^{-t}$
全解
全解为齐次解与特解之和：
$y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t} + e^{-t}$
确定常数
代入初始条件 $y(0) = 2$，$y'(0) = -1$，解得 $C_1 = 3$，$C_2 = -2$，最终解为：
$y(t) = 3e^{-2t} - 2e^{-3t} + e^{-t}$
第（2）题
齐次解
齐次解与第（1）题相同：
$y_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t}$
特解
非齐次项 $f(t) = e^{-2t}$，因 $-2$ 是特征根，特解设为 $y_p(t) = (P_1 t + P_0) e^{-2t}$。代入方程解得 $P_1 = 1$，但 $P_0$ 无法确定，故特解为：
$y_p(t) = (t + P_0) e^{-2t}$
全解
全解为：
$y(t) = (C_1 + P_0) e^{-2t} + C_2 e^{-3t} + t e^{-2t}$
确定常数
代入初始条件 $y(0) = 1$，$y'(0) = 0$，解得 $C_1 + P_0 = 2$，$C_2 = -1$。因 $C_1$ 与 $P_0$ 无法区分，最终解为：
$y(t) = 2e^{-2t} - e^{-3t} + t e^{-2t}$