描述某系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t)求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y'(0)= -1时的全解;(2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y'(0)=0时的全解。
描述某系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t)
求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y'(0)= -1时的全解;
(2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y'(0)=0时的全解。
题目解答
答案
解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2,λ2= – 3。
齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
当f(t) = 2e –t时,其特解可设为 yp(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1
于是特解为 yp(t) = e – t
全解为: y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y'(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3 ,C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
(2)齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时,其指数与特征根之一相重。故其特解为
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
代入微分方程可得 P1e–2t = e–2t
所以 P1= 1 但P0不能求得。特解为
yp(t) = (t + P0)e–2t
全解为
y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t
将初始条件代入,得
y(0) = (C1+P0) + C2=1 ,y'(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0
上式第一项的系数C1+P0= 2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。
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解析
微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t)。首先求解齐次方程 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 0 的特征方程 λ^2 + 5λ + 6 = 0。解得特征根 λ1 = -2, λ2 = -3。
步骤 2：求解齐次解
齐次解为 yh(t) = C1e^(-2t) + C2e^(-3t)。
步骤 3：求解特解
(1) 当 f(t) = 2e^(-t) 时，特解可设为 yp(t) = Pe^(-t)。代入微分方程得 Pe^(-t) + 5(-Pe^(-t)) + 6Pe^(-t) = 2e^(-t)，解得 P = 1。于是特解为 yp(t) = e^(-t)。
(2) 当 f(t) = e^(-2t) 时，特解可设为 yp(t) = (P1t + P0)e^(-2t)。代入微分方程得 P1e^(-2t) = e^(-2t)，解得 P1 = 1。特解为 yp(t) = (t + P0)e^(-2t)。
步骤 4：求解全解
(1) 全解为 y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e^(-2t) + C2e^(-3t) + e^(-t)。由初始条件 y(0) = 2, y'(0) = -1，解得 C1 = 3, C2 = -2。最后得全解 y(t) = 3e^(-2t) - 2e^(-3t) + e^(-t)。
(2) 全解为 y(t) = C1e^(-2t) + C2e^(-3t) + te^(-2t) + P0e^(-2t) = (C1 + P0)e^(-2t) + C2e^(-3t) + te^(-2t)。由初始条件 y(0) = 1, y'(0) = 0，解得 C1 + P0 = 2, C2 = -1。最后得全解 y(t) = 2e^(-2t) - e^(-3t) + te^(-2t)。