题目

17、设f(x)={}x^2sin x&x<3 (x)/(1+sqrt(1+x))&xgeq3f(x)dx.

17、设$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}\sin x&x<3\\ \frac{x}{1+\sqrt{1+x}}&x\geq3\end{matrix}\right.$，求定积分$\int_{-3}^{8}f(x)dx$.

题目解答

答案

为了求定积分$\int_{-3}^{8} f(x) \, dx$，其中函数$f(x)$定义为 \[ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin x & \text{如果 } x < 3, \\ \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x}} & \text{如果 } x \ge 3, \end{cases} \] 我们需要将积分分为两部分：从$-3$到$3$和从$3$到$8$。这是因为函数$f(x)$在$x = 3$处 redefine。因此，我们可以写成 \[ \int_{-3}^{8} f(x) \, dx = \int_{-3}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{8} f(x) \, dx. \] 首先，我们计算$\int_{-3}^{3} f(x) \, dx$。对于$x < 3$，有$f(x) = x^2 \sin x$。函数$x^2 \sin x$是一个奇函数，因为$x^2$是偶函数，而$\sin x$是奇函数。奇函数在关于原点对称的区间上的积分是零。因此， \[ \int_{-3}^{3} x^2 \sin x \, dx = 0. \] 接下来，我们计算$\int_{3}^{8} f(x) \, dx$。对于$x \ge 3$，有$f(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x}}$。为了积分这个函数，我们首先简化它。设$u = \sqrt{1 + x}$。则$u^2 = 1 + x$，所以$x = u^2 - 1$，且$dx = 2u \, du$。当$x = 3$时，有$u = \sqrt{4} = 2$，当$x = 8$时，有$u = \sqrt{9} = 3$。因此，积分变为 \[ \int_{3}^{8} \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x}} \, dx = \int_{2}^{3} \frac{u^2 - 1}{1 + u} \cdot 2u \, du. \] 我们可以简化被积函数$\frac{u^2 - 1}{1 + u}$。因为$u^2 - 1 = (u - 1)(u + 1)$，我们有 \[ \frac{u^2 - 1}{1 + u} = u - 1. \] 所以积分变为 \[ \int_{2}^{3} (u - 1) \cdot 2u \, du = \int_{2}^{3} (2u^2 - 2u) \, du. \] 我们可以将这个积分分为两个积分： \[ \int_{2}^{3} 2u^2 \, du - \int_{2}^{3} 2u \, du. \] 计算这些积分，我们得到 \[ 2 \int_{2}^{3} u^2 \, du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{3} = 2 \left( \frac{27}{3} - \frac{8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{19}{3} = \frac{38}{3}, \] 和 \[ 2 \int_{2}^{3} u \, du = 2 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{2}^{3} = 2 \left( \frac{9}{2} - \frac{4}{2} \right) = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5. \] 因此， \[ \int_{2}^{3} (2u^2 - 2u) \, du = \frac{38}{3} - 5 = \frac{38}{3} - \frac{15}{3} = \frac{23}{3}. \] 将两部分相加，我们得到 \[ \int_{-3}^{8} f(x) \, dx = 0 + \frac{23}{3} = \frac{23}{3}. \] 因此，定积分的值是 \[ \boxed{\frac{23}{3}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查分段函数的定积分计算，涉及奇偶函数的积分性质和变量代换法的应用。

解题思路：

  1. 分段处理：由于函数$f(x)$在$x=3$处分段，需将积分区间分为$[-3,3]$和$[3,8]$两部分。
  2. 奇函数性质：对于$x<3$的部分，判断被积函数$x^2 \sin x$的奇偶性，利用奇函数在对称区间积分结果为0的性质简化计算。
  3. 变量代换：对于$x \geq 3$的部分，通过变量代换$u = \sqrt{1+x}$简化被积函数，转化为多项式积分。

破题关键：

  • 识别奇函数：$x^2 \sin x$是奇函数，直接得出积分结果为0。
  • 合理选择代换：通过代换消除根号，将复杂分式转化为易积分的多项式。

分段积分

将积分拆分为两部分：
$\int_{-3}^{8} f(x) \, dx = \int_{-3}^{3} x^2 \sin x \, dx + \int_{3}^{8} \frac{x}{1+\sqrt{1+x}} \, dx.$

第一部分积分（$-3$到$3$）

  1. 判断奇偶性：
    $x^2$是偶函数，$\sin x$是奇函数，因此$x^2 \sin x$是奇函数。
  2. 对称区间积分：
    奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分结果为0：
    $\int_{-3}^{3} x^2 \sin x \, dx = 0.$

第二部分积分（$3$到$8$）

  1. 变量代换：
    设$u = \sqrt{1+x}$，则$u^2 = 1+x$，即$x = u^2 -1$，$dx = 2u \, du$。
    当$x=3$时，$u=2$；当$x=8$时，$u=3$。
  2. 代换积分：
    原积分变为：
    $\int_{2}^{3} \frac{u^2 -1}{1+u} \cdot 2u \, du.$
  3. 简化被积函数：
    分子$u^2 -1 = (u-1)(u+1)$，分母$1+u$约分后得：
    $\frac{u^2 -1}{1+u} = u -1.$
    因此积分简化为：
    $\int_{2}^{3} (u -1) \cdot 2u \, du = \int_{2}^{3} (2u^2 - 2u) \, du.$
  4. 分项积分：
    $\begin{aligned} \int_{2}^{3} 2u^2 \, du &= 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{3} = \frac{38}{3}, \\ \int_{2}^{3} 2u \, du &= 2 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{2}^{3} = 5. \end{aligned}$
  5. 合并结果：
    $\int_{2}^{3} (2u^2 - 2u) \, du = \frac{38}{3} - 5 = \frac{23}{3}.$

最终结果

两部分积分相加：
$\int_{-3}^{8} f(x) \, dx = 0 + \frac{23}{3} = \frac{23}{3}.$