求ln sqrt ({x)^2+(y)^2}=arctan dfrac (y)(x)的导数(dy)/(dx).

本题考查隐函数求导的应用，核心思路是对等式两边同时关于$x$求导，再通过代数变形解出$\dfrac{dy}{dx}$。关键点在于：

1. 化简原方程：利用对数性质将$\ln \sqrt{x^2 + y^2}$转化为$\dfrac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)$，简化后续求导过程。
2. 正确应用链式法则：对左边$\ln(x^2 + y^2)$求导时，需处理复合函数的导数；对右边$\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$求导时，需结合商的导数公式。
3. 代数整理：将含$\dfrac{dy}{dx}$的项集中，解出最终表达式。

步骤1：化简原方程

原方程$\ln \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$可化简为：
$\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2) = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$

步骤2：对两边关于$x$求导

左边求导

左边$\dfrac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)$的导数为：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y \dfrac{dy}{dx}}{x^2 + y^2} = \frac{x + y \dfrac{dy}{dx}}{x^2 + y^2}$

右边求导

右边$\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$的导数为：
$\frac{1}{1 + \left(\dfrac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{x \dfrac{dy}{dx} - y}{x^2} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x \dfrac{dy}{dx} - y}{x^2} = \frac{x \dfrac{dy}{dx} - y}{x^2 + y^2}$

步骤3：建立方程并整理

将两边导数等式联立：
$\frac{x + y \dfrac{dy}{dx}}{x^2 + y^2} = \frac{x \dfrac{dy}{dx} - y}{x^2 + y^2}$
约去分母$x^2 + y^2$后得：
$x + y \dfrac{dy}{dx} = x \dfrac{dy}{dx} - y$

步骤4：解出$\dfrac{dy}{dx}$

将含$\dfrac{dy}{dx}$的项移到左边，常数项移到右边：
$y \dfrac{dy}{dx} - x \dfrac{dy}{dx} = -x - y$
提取公因式$\dfrac{dy}{dx}$：
$\dfrac{dy}{dx}(y - x) = -(x + y)$
最终解得：
$\dfrac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$