2.图示为一个均匀带电的球层,其电荷体密度为,球层内表面半径为R 1 ,外表面半径为 R 2 , 设无穷远处为电势零点,求空腔内任一点的电势。

考查要点：本题主要考查带电球壳电势的计算，以及空腔内电势的性质。
解题核心思路：

1. 电势叠加原理：将带电球层视为无数同心薄球壳的叠加，计算每个薄壳在空腔内产生的电势，再积分求和。
2. 空腔内电势特性：空腔内电场为零，但电势不为零，且为等势区，电势等于带电球层在该点产生的总电势。
   破题关键点：

• 明确带电球层的电荷分布范围（内半径$R_1$到外半径$R_2$）。
• 正确写出薄球壳电势的表达式，并对电荷密度$\rho$进行积分。

步骤1：分析带电球层的电势贡献

带电球层的电荷体密度为$\rho$，取半径为$r$、厚度为$dr$的薄球壳，其电荷量为：
$dq = \rho \cdot 4\pi r^2 dr$
该薄壳在空腔内任意点（等效于球心）产生的电势为：
$dU = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq}{r} = \frac{\rho \cdot 4\pi r^2 dr}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\rho r dr}{\varepsilon_0}$

步骤2：积分求总电势

带电球层的电荷分布在$R_1$到$R_2$之间，总电势为各薄壳电势的积分：
$U = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\rho r}{\varepsilon_0} dr = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} r dr$
计算积分得：
$U = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{2} \left( R_2^2 - R_1^2 \right) = \frac{\rho}{2\varepsilon_0} \left( R_2^2 - R_1^2 \right)$

步骤3：空腔内电势的确定

空腔内电场为零，是等势区，因此空腔内任意点的电势等于带电球层在该点产生的总电势：
$U = \frac{\rho}{2\varepsilon_0} \left( R_2^2 - R_1^2 \right)$