题目
2.图示为一个均匀带电的球层,其电荷体密度为,球层内表面半径为R 1 ,外表面半径为 R 2 , 设无穷远处为电势零点,求空腔内任一点的电势。
2.图示为一个均匀带电的球层,其电荷体密度为,球层内表面半径为R 1 ,外表面半径为 R 2 , 设无穷远处为电势零点,求空腔内任一点的电势。题目解答
答案
解:在球层中取半径为r,厚为d r的同心薄球壳,带电量为:
它在球心处产生的电势为:
整个带电球层在O点产生的电势为:
空腔内场强
,为等势区,所以腔内任意一点的电势为:
,为等势区,所以腔内任意一点的电势为:解析
步骤 1：确定电势的计算方法
电势是电场中某一点的电势能与电荷量的比值。对于一个均匀带电的球层，其电势可以通过积分计算得到。由于电势是标量，可以将球层分成许多同心薄球壳，计算每个薄球壳在球心处产生的电势，然后将这些电势相加。
步骤 2：计算每个薄球壳在球心处产生的电势
在球层中取半径为r，厚为dr的同心薄球壳，带电量为：$q=\rho \cdot 4\pi r^2dr$。它在球心处产生的电势为：${U}_{0}=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}=\dfrac {\rho rdr}{{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：计算整个带电球层在球心处产生的电势
整个带电球层在球心处产生的电势为：${U}_{0}={\int }_{0}^{{R}_{0}}={\int }_{{R}_{1}}^{{R}_{2}}\dfrac {\rho rdr}{{\varepsilon }_{0}}=\dfrac {\rho }{2{\varepsilon }_{0}}({{R}_{2}}^{2}-{{R}_{1}}^{2})$。
步骤 4：确定空腔内任一点的电势
空腔内场强为零，为等势区，所以腔内任意一点的电势与球心处的电势相同，即：$U={U}_{0}=\dfrac {\rho }{2{\varepsilon }_{0}}({{R}_{2}}^{2}-{{R}_{1}}^{2})$。
电势是电场中某一点的电势能与电荷量的比值。对于一个均匀带电的球层，其电势可以通过积分计算得到。由于电势是标量，可以将球层分成许多同心薄球壳，计算每个薄球壳在球心处产生的电势，然后将这些电势相加。
步骤 2：计算每个薄球壳在球心处产生的电势
在球层中取半径为r，厚为dr的同心薄球壳，带电量为：$q=\rho \cdot 4\pi r^2dr$。它在球心处产生的电势为：${U}_{0}=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}=\dfrac {\rho rdr}{{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：计算整个带电球层在球心处产生的电势
整个带电球层在球心处产生的电势为：${U}_{0}={\int }_{0}^{{R}_{0}}={\int }_{{R}_{1}}^{{R}_{2}}\dfrac {\rho rdr}{{\varepsilon }_{0}}=\dfrac {\rho }{2{\varepsilon }_{0}}({{R}_{2}}^{2}-{{R}_{1}}^{2})$。
步骤 4：确定空腔内任一点的电势
空腔内场强为零，为等势区，所以腔内任意一点的电势与球心处的电势相同，即：$U={U}_{0}=\dfrac {\rho }{2{\varepsilon }_{0}}({{R}_{2}}^{2}-{{R}_{1}}^{2})$。