题目
设A,B均为n阶方阵,满足 =0, 则下列结论一定成立的是 ()-|||-(A) |A|+|B|=0; (B) R(A)=R(B) ;-|||-(C) A=0 或 =0; (D) |A|=0 或 |B|=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解矩阵乘积为零的含义
矩阵乘积 $AB=0$ 表示矩阵A和B的乘积为零矩阵。这意味着矩阵A的列向量与矩阵B的行向量的内积均为零。
步骤 2：分析行列式为零的条件
行列式 $|A|$ 或 $|B|$ 为零意味着矩阵A或B是奇异矩阵，即它们的行列式为零。对于n阶方阵，如果行列式为零，则矩阵不可逆，且矩阵的秩小于n。
步骤 3：验证选项
(A) $|A|+|B|=0$：此选项不正确，因为行列式的和为零并不意味着行列式本身为零。
(B) R(A)=R(B)：此选项不正确，因为矩阵A和B的秩不一定相等。
(C) A=0 或 $B=0$：此选项不正确，因为矩阵乘积为零并不意味着其中一个矩阵为零矩阵。
(D) |A|=0 或 |B|=0：此选项正确，因为如果矩阵A和B的乘积为零矩阵，则至少有一个矩阵的行列式为零。
矩阵乘积 $AB=0$ 表示矩阵A和B的乘积为零矩阵。这意味着矩阵A的列向量与矩阵B的行向量的内积均为零。
步骤 2：分析行列式为零的条件
行列式 $|A|$ 或 $|B|$ 为零意味着矩阵A或B是奇异矩阵，即它们的行列式为零。对于n阶方阵，如果行列式为零，则矩阵不可逆，且矩阵的秩小于n。
步骤 3：验证选项
(A) $|A|+|B|=0$：此选项不正确，因为行列式的和为零并不意味着行列式本身为零。
(B) R(A)=R(B)：此选项不正确，因为矩阵A和B的秩不一定相等。
(C) A=0 或 $B=0$：此选项不正确，因为矩阵乘积为零并不意味着其中一个矩阵为零矩阵。
(D) |A|=0 或 |B|=0：此选项正确，因为如果矩阵A和B的乘积为零矩阵，则至少有一个矩阵的行列式为零。