题目
[题目 lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^x-1}(x)=1.

题目解答
答案

解析
步骤 1:利用等价无穷小替换
由于当 $x \rightarrow 0$ 时,${e}^{x}-1$ 与 $x$ 是等价无穷小,即 ${e}^{x}-1 \sim x$。这意味着当 $x$ 接近 $0$ 时,${e}^{x}-1$ 和 $x$ 的比值接近于 $1$。
步骤 2:代入等价无穷小
将 ${e}^{x}-1$ 替换为 $x$,得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{x}$。
步骤 3:计算极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{x}$,由于分子和分母都是 $x$,所以当 $x$ 接近 $0$ 时,这个比值为 $1$。
由于当 $x \rightarrow 0$ 时,${e}^{x}-1$ 与 $x$ 是等价无穷小,即 ${e}^{x}-1 \sim x$。这意味着当 $x$ 接近 $0$ 时,${e}^{x}-1$ 和 $x$ 的比值接近于 $1$。
步骤 2:代入等价无穷小
将 ${e}^{x}-1$ 替换为 $x$,得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{x}$。
步骤 3:计算极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{x}$,由于分子和分母都是 $x$,所以当 $x$ 接近 $0$ 时,这个比值为 $1$。