39.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0 ,(dfrac (1)(2))=2, (1)=dfrac (1)(2),-|||-(1)证明:存在 in (0,1), 使得 f(c)=c-|||-(2)证明:存在 in in (0,1), 使得 '(xi )+f(xi )=1+xi -|||-微信公众号:

考查要点：

1. 第一问：利用连续函数的介值定理证明方程解的存在性。
2. 第二问：通过构造辅助函数，结合罗尔定理证明微分方程解的存在性。

解题核心思路：

1. 第一问：构造函数 $g(x) = f(x) - x$，通过分析 $g(x)$ 在区间端点的符号变化，应用介值定理得出存在 $c$ 使得 $g(c) = 0$，即 $f(c) = c$。
2. 第二问：构造辅助函数 $h(x) = (f(x) - x)e^x$，利用罗尔定理证明存在 $\xi$ 使得 $h'(\xi) = 0$，从而导出 $f'(\xi) + f(\xi) = 1 + \xi$。

第（1）题

关键步骤：

1. 构造函数：令 $g(x) = f(x) - x$，则 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
2. 计算端点值：
   • $g\left(\dfrac{1}{2}\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} > 0$，
   • $g(1) = f(1) - 1 = \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{1}{2} < 0$。
3. 应用介值定理：因 $g\left(\dfrac{1}{2}\right) > 0$ 且 $g(1) < 0$，故存在 $c \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right) \subset (0,1)$，使得 $g(c) = 0$，即 $f(c) = c$。

第（2）题

关键步骤：

1. 构造辅助函数：令 $h(x) = (f(x) - x)e^x$，则 $h(x)$ 在 $[0,c]$ 上连续，在 $(0,c)$ 内可导（$c$ 为第（1）题中找到的点）。
2. 验证端点值：
   • $h(0) = (f(0) - 0)e^0 = 0$，
   • $h(c) = (f(c) - c)e^c = 0$（因 $f(c) = c$）。
3. 应用罗尔定理：因 $h(0) = h(c) = 0$，存在 $\xi \in (0,c) \subset (0,1)$，使得 $h'(\xi) = 0$。
4. 求导并化简：
   $h'(\xi) = \left[f'(\xi) - 1 + f(\xi) - \xi\right]e^\xi = 0 \implies f'(\xi) + f(\xi) = 1 + \xi.$