在下列级数中，发散的是A. sum_(n=1)^infty (1)/(sqrt(n^3))B. (1)/(2) + (1)/(4) + (1)/(8) + (1)/(16) + (1)/(32) + ...C. 0.001 + sqrt(0.001) + sqrt[3](0.001) + ...D. (3)/(5) - (3^2)/(5^2) + (3^3)/(5^3) - (3^4)/(5^4) + (3^5)/(5^5) - ...

本题主要考查级数敛散性的判断，我们将分别对每个选项中的级数进行分析。

选项A

本题考查知识点：$p -$级数的敛散性判断。解题思路：对于$p -$级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$，当$p>1$时，级数收敛；当$p\leqslant1$时，级数发散。
对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3}}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$，这里$p = \frac{3}{2}>1$，根据$p -$级数的敛散性可知，该级数收敛。

选项B

本题考查知识点：等比级数的敛散性判断。解题思路：对于等比级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_1q^{n - 1}$，当$\vert q\vert<1$时，级数收敛；当$\vert q\vert\geqslant1$时，级数发散。
已知级数$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots$是首项$a_1=\frac{1}{2}$，公比$q=\frac{1}{2}$的等比级数，因为$\vert q\vert=\vert\frac{1}{2}\vert=\frac{1}{2}<1$，所以该级数收敛。

选项C

本题考查知识点：级数收敛的必要条件。解题思路：若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛，则$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n = 0$，其逆否命题为若$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\neq0$，则级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$发散。
对于级数$0.001+\sqrt{0.001}+\sqrt[3]{0.001}+\cdots$，其通项公式为$u_n=(0.001)^{\frac{1}{n}}$，计算$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(0.001)^{\frac{1}{n}}$，令$y=(0.001)^{\frac{1}{n}}$，两边取对数$\ln y=\frac{1}{n}\ln0.001$，当$n\rightarrow\infty$时，$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$，所以$\lim_{n\rightarrow\infty}\ln y = 0$，根据对数函数的连续性，$\lim_{n\rightarrow\infty}y = e^0 = 1\neq0$，由级数收敛的必要条件可知，该级数发散。

选项D

本题考查知识点：等比级数的敛散性判断。解题思路：对于等比级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_1q^{n - 1}$，当$\vert q\vert<1$时，级数收敛；当$\vert q\vert\geqslant1$时，级数发散。
已知级数$\frac{3}{5}-\frac{3^2}{5^2}+\frac{3^3}{5^3}-\frac{3^4}{5^4}+\frac{3^5}{5^5}-\cdots$是首项$a_1=\frac{3}{5}$，公比$q = -\frac{3}{5}$的等比级数，因为$\vert q\vert=\vert-\frac{3}{5}\vert=\frac{3}{5}<1$，所以该级数收敛。