10. 求 R^2 times 3 的子空间 W=()a&b&0c&0&d 的基和维数.
题目解答
答案
将矩阵表示为： $\begin{pmatrix} a & b & 0 \\ c & 0 & d \end{pmatrix}$ 由条件 $a + b + d = 0$，得 $d = -a - b$。代入得： $\begin{pmatrix} a & b & 0 \\ c & 0 & -a - b \end{pmatrix}$ 可表示为： $a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 三个矩阵线性无关，构成基。 答案： 基： $\boxed{ \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} }$ 维数： $\boxed{3}$
解析
考查要点：本题主要考查子空间的基与维数的求解方法，需要将矩阵空间中的元素转化为向量形式，通过约束条件确定自由变量，并构造线性无关的基。
解题核心思路：
- 分析约束条件：利用条件$a + b + d = 0$消去变量$d$，将矩阵表示为自由变量$a, b, c$的线性组合。
- 构造基矩阵：将矩阵分解为自由变量对应的系数矩阵，验证这些矩阵的线性无关性。
- 确定维数：基中矩阵的个数即为子空间的维数。
破题关键点：
- 消元法：通过约束条件消去一个变量，减少自由度。
- 线性无关性：通过系数矩阵的唯一线性组合验证基的独立性。
步骤1：消元处理
由条件$a + b + d = 0$，得$d = -a - b$。将$d$代入原矩阵：
$\begin{pmatrix} a & b & 0 \\ c & 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & 0 \\ c & 0 & -a - b \end{pmatrix}.$
步骤2：分解为自由变量的线性组合
将矩阵表示为$a, b, c$的线性组合：
$a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$
步骤3：验证线性无关性
假设存在系数$k_1, k_2, k_3$使得：
$k_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$
通过逐元素对比可得：
- 第一行第一列：$k_1 = 0$，
- 第一行第二列：$k_2 = 0$，
- 第二行第三列：$-k_1 - k_2 = 0$，
- 第二行第一列：$k_3 = 0$，
故$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，说明三个矩阵线性无关。
步骤4：确定基与维数
三个线性无关的矩阵构成基，因此维数为3。