例1 二次型x^TAx=(x_(1)+2x_(2)+ax_(3))(x_(1)+5x_(2)+bx_(3))的正惯性指数p与负惯性指数q分别是( ).(A)p=2,q=1 (B)p=2,q=0(C)p=1,q=1 (D)与a,b有关,不能确定

题目分析

已知二次型 $x^T A x = (x_1 + 2x_2 + ax_3)(x_1 + 5x_2 + bx_3)$，要求确定其正惯性指数 $p$ 与负惯性指数 $q$。

我们需要理解二次型的矩阵表示以及惯性指数的定义。惯性指数是指二次型化为标准形后，正平方项的个数（正惯性指数 $p$）和负平方项的个数（负惯性指数 $q$）。

1. 将二次型表示为线性组合的乘积

令：
$y_1 = x_1 + 2x_2 + ax_3$
$y_2 = x_1 + 5x_2 + bx_3$

则二次型可以写为：
$f = y_1 y_2$

这里 $y_1, y_2$ 是关于 $x_1, x_2, x_3$ 的线性函数。我们需要判断 $y_1, y_2$ 是否线性无关，以及它们对秩和惯性指数的影响。

2. 线性变换与秩的分析

观察 $y_1, y_2$ 的系数向量：

• $y_1$ 的系数向量为 $(1, 2, a)$
• $y_2$ 的系数向量为 $(1, 5, b)$

显然，这两个向量不成比例（因为 $1:1 = 1$，而 $2:5 \neq 1$），所以 $y_1, y_2$ 是线性无关的。

由于 $x_1, x_2, x_3$ 是三个变量，而 $y_1, y_2$ 只是其中的两个线性无关组合，我们可以引入第三个线性无关的变量 $y_3$（例如与 $y_1, y_2$ 一起构成可逆线性变换），使得：
$\begin{cases} y_1 = x_1 + 2x_2 + ax_3 \\ y_2 = x_1 + 5x_2 + bx_3 \\ y_3 = \text{某个与 } y_1, y_2 \text{ 线性无关的线性组合} \end{cases}$

在这个可逆线性变换下，二次型 $f = y_1 y_2$ 只涉及 $y_1, y_2$，不涉及 $y_3$。这说明二次型的秩 $r = 2$（因为只有两个变量参与乘积，且它们线性无关）。

3. 化为标准形

对于 $f = y_1 y_2$，我们可以通过进一步的线性变换将其化为平方差的形式。令：
$z_1 = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad z_2 = \frac{y_1 - y_2}{2}$

则有：
$y_1 y_2 = \left( z_1 + z_2 \right) \left( z_1 - z_2 \right) = z_1^2 - z_2^2$

此时，二次型在变量 $z_1, z_2, y_3$（或对应的 $x$ 的线性组合）下的标准形为：
$f = z_1^2 - z_2^2 + 0 \cdot z_3^2$

4. 确定正负惯性指数

从标准形 $z_1^2 - z_2^2$ 可以看出：

• 正平方项的个数为 $1$，即正惯性指数 $p = 1$。
• 负平方项的个数为 $1$，即负惯性指数 $q = 1$。
• 秩 $r = p + q = 2$。

由于 $y_1, y_2$ 的系数向量始终线性无关（与 $a, b$ 的具体取值无关，只要中间项 $2$ 和 $5$ 不同），所以无论 $a, b$ 取何值，该二次型的秩始终为 $2$，且符号差由 $y_1 y_2$ 的结构决定，始终是一个正项和一个负项。

5. 选项分析

• (A) $p = 2, q = 1$：秩为 $3$，不符合。
• (B) $p = 2, q = 0$：秩为 $2$，但半正定，不符合 $y_1 y_2$ 的混合符号。
• (C) $p = 1, q = 1$：秩为 $2$，一正一负，符合。
• (D) 与 $a, b$ 有关，不能确定：由于 $y_1, y_2$ 线性无关是恒成立的，所以惯性指数是确定的。

结论

正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 1$。

正确答案是：(C)