四.(12分) 已知函数(x)=2(x)^3+(x)^2+2x-1定义在区间[-1,1]上,在空间(x)=2(x)^3+(x)^2+2x-1上求函数(x)=2(x)^3+(x)^2+2x-1的最佳平方逼近多项式.其中,权函数(x)=2(x)^3+(x)^2+2x-1,(x)=2(x)^3+(x)^2+2x-1.

本题考查函数的最佳平方逼近多项式的求解，解题的关键在于利用内积的性质求出基函数之间的内积，构建正规方程组，进而求解方程组得到最佳平方逼近多项式的系数。

1. 计算基函数之间的内积：
   • 已知权函数$w(x)=1$，根据内积的定义$(\varphi_i(x),\varphi_j(x))=\int_{-1}^{1}\varphi_i(x)\varphi_j(x)w(x)dx=\int_{-1}^{1}\varphi_i(x)\varphi_j(x)dx$。
   • 计算$(\varphi_0(x),\varphi_0(x))$：
     $(\varphi_0(x),\varphi_0(x))=\int_{-1}^{1}1\times1dx=\left[x\right]_{-1}^{1}=1 - (-1)=2$
   • 计算$(\varphi_0(x),\varphi_1(x))$和$(\varphi_1(x),\varphi_0(x))$：
     $(\varphi_0(x),\varphi_1(x))=(\varphi_1(x),\varphi_0(x))=\int_{-1}^{1}x\times1dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{2}\times(1^2 - (-1)^2)=0$
   • 计算$(\varphi_0(x),\varphi_2(x))$和$(\varphi_2(x),\varphi_0(x))$：
     $(\varphi_0(x),\varphi_2(x))=(\varphi_2(x),\varphi_0(x))=\int_{-1}^{1}x^2\times1dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{3}\times(1^3 - (-1)^3)=\frac{2}{3}$
   • 计算$(\varphi_1(x),\varphi_1(x))$：
     $(\varphi_1(x),\varphi_1(x))=\int_{-1}^{1}x\times xdx=\int_{-1}^{1}x^2dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{3}\times(1^3 - (-1)^3)=\frac{2}{3}$
   • 计算$(\varphi_1(x),\varphi_2(x))$和$(\varphi_2(x),\varphi_1(x))$：
     $(\varphi_1(x),\varphi_2(x))=(\varphi_2(x),\varphi_1(x))=\int_{-1}^{1}x\times x^2dx=\int_{-1}^{1}x^3dx=\left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{4}\times(1^4 - (-1)^4)=0$
   • 计算$(\varphi_2(x),\varphi_2(x))$：
     $(\varphi_2(x),\varphi_2(x))=\int_{-1}^{1}x^2\times x^2dx=\int_{-1}^{1}x^4dx=\left[\frac{1}{5}x^5\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{5}\times(1^5 - (-1)^5)=\frac{2}{5}$
2. 构建正规方程组：
   设最佳平方逼近多项式$p(x)=a_0\varphi_0(x)+a_1\varphi_1(x)+a_2\varphi_2(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2$，根据正规方程组$\sum_{j = 0}^{2}(\varphi_i(x),\varphi_j(x))a_j=(f(x),\varphi_i(x))$，$i = 0,1,2$，可得：
   \(\begin{cases} (\varphi_0(x),\varphi_0(x))a_0+(\varphi_0(x),\varphi_1(x))a_1+(\varphi_0(x),\varphi_2(x))a_2=(f(x),\varphi_0(x))\\ (\varphi_1(x),\varphi_0(x))a_0+(\varphi_1(x),\varphi_1(x))a_1+(\varphi_1(x),\varphi_2(x))a_2=(f(x),\varphi_1(x))\\ (\varphi_2(x),\varphi_0(x))a_0+(\varphi_2(x),\varphi_1(x))a_1+(\varphi_2(x),\varphi_2(x))a_2=(f(x),\varphi_2(x)) \end{cases}\)
   将前面计算的内积和已知条件代入可得：
   \(\begin{cases} 2a_0 + 0\times a_1+\frac{2}{3}a_2=-\frac{4}{3}\\ 0\times a_0+\frac{2}{3}a_1 + 0\times a_2=\frac{32}{15}\\ \frac{2}{3}a_0 + 0\times a_1+\frac{2}{5}a_2=-\frac{4}{15} \end{cases}\)
   即\(\begin{cases} 2a_0+\frac{2}{3}a_2=-\frac{4}{3}\\ \frac{2}{3}a_1=\frac{32}{15}\\ \frac{2}{3}a_0+\frac{2}{5}a_2=-\frac{4}{15} \end{cases}\)
3. 求解正规方程组：
   • 由$\frac{2}{3}a_1=\frac{32}{15}$，解得$a_1=\frac{32}{15}\times\frac{3}{2}=\frac{16}{5}$。
   • 对$2a_0+\frac{2}{3}a_2=-\frac{4}{3}$两边同时乘以$\frac{1}{2}$得$a_0+\frac{1}{3}a_2=-\frac{2}{3}$ ①。
   • 对$\frac{2}{3}a_0+\frac{2}{5}a_2=-\frac{4}{15}$两边同时乘以$\frac{3}{2}$得$a_0+\frac{3}{5}a_2=-\frac{2}{5}$ ②。
   • 用②式减去①式消去$a_0$可得：
     $(a_0+\frac{3}{5}a_2)-(a_0+\frac{1}{3}a_2)=-\frac{2}{5}-(-\frac{2}{3})$
     $a_0+\frac{3}{5}a_2 - a_0-\frac{1}{3}a_2=-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}$
     $(\frac{3}{5}-\frac{1}{3})a_2=\frac{-6 + 10}{15}$
     $\frac{9 - 5}{15}a_2=\frac{4}{15}$
     $\frac{4}{15}a_2=\frac{4}{15}$
     解得$a_2 = 1$。
   • 将$a_2 = 1$代入①式可得：
     $a_0+\frac{1}{3}\times1=-\frac{2}{3}$
     $a_0=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=-1$
4. 得到最佳平方逼近多项式：
   将$a_0 = -1$，$a_1=\frac{16}{5}$，$a_2 = 1$代入$p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2$，可得$p(x)=x^2+\frac{16}{5}x - 1$。