f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0是二元可微函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)取得极值的(A. 充要条件B. 必要条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件

考查要点：本题主要考查二元可微函数极值的必要条件的理解，即偏导数为零的条件在极值点处的性质。

解题核心思路：

1. 必要条件的定义：若函数在某点取得极值且可微，则该点的偏导数必须为零。
2. 充分条件的否定：偏导数为零的点不一定是极值点（例如鞍点），因此该条件并非充分。
3. 关键结论：偏导数为零是极值存在的必要但不充分条件。

必要性证明

若二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微且取得极值，则根据极值的定义，对于任意方向的单位向量 $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$，该点的方向导数为：
$D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)u_1 + f_y(x_0,y_0)u_2.$
若存在极值，则方向导数在所有方向上应满足 $D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) \geq 0$（极大值）或 $D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) \leq 0$（极小值）。特别地，当 $\mathbf{u}$ 分别取坐标轴方向时，可得：
$f_x(x_0,y_0) = 0, \quad f_y(x_0,y_0) = 0.$
因此，偏导数为零是极值存在的必要条件。

充分性否定

偏导数为零的点不一定是极值点。例如，函数 $f(x,y)=x^2 - y^2$ 在原点 $(0,0)$ 处有 $f_x=0$、$f_y=0$，但该点是鞍点，并非极值点。这说明偏导数为零仅是必要条件，而非充分条件。