题目

求行列式-2 2 -4 0-|||-__-|||-4 -1 3 5-|||-3 1 -2 -3-|||-2 0 5 1

求行列式 $\left|\begin{array}{cccc} -2 & 2 & -4 & 0 \\ 4 & -1 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & 5 & 1 \end{array}\right|$

题目解答

依题意，设

行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc} -2 & 2 & -4 & 0 \\ 4 & -1 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & 5 & 1 \end{array}\right|$

∴将行列式的第三行加到第二行，得

$D=\left|\begin{array}{cccc} -2 & 2 & -4 & 0 \\ 7&0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & 5 & 1 \end{array}\right|$

将行列式的第三行乘 $-2$ 加到第一行，得

$D=\left|\begin{array}{cccc} -8 & 0 & 0 & 6 \\ 7&0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & 5 & 1 \end{array}\right|$

将该行列式按照第二列展开，得

$D=-\left|\begin{array}{cccc} -8 & 0 & 6 \\ 7 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \end{array}\right|$

将行列式的第二行乘 $-5$ 加到第三行，得

$D=-\left|\begin{array}{cccc} -8 & 0 & 6 \\ 7 & 1 & 2 \\ -33 & 0 & -9 \end{array}\right|$

将该行列式按照第二列展开，得

$D=-\left|\begin{array}{cccc} -8 & 6 \\ -33 & -9 \end{array}\right|$

将该二阶行列式按照对角线法则展开计算，得

$D=-\left[\left(-8\right)\times\left(-9\right)-\left(-33\right)\times6\right]$

$=-270$