题目

9.[判断题]向量c与向量(ccdot a)b-(bcdot c)a垂直我的答案：对正确答案：对得分：10.0分查看解析^[(ccdot a)b-(bcdot c)a]cdot c=0

9.[判断题]向量c与向量$(c\cdot a)b-(b\cdot c)a$垂直 我的答案：对 正确答案：对 得分：10.0分 查看解析^ $[(c\cdot a)b-(b\cdot c)a]\cdot c=0$

题目解答

答案

为了判断向量 $\mathbf{c}$ 是否与向量 $(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})\mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a}$ 垂直，我们需要计算这两个向量的点积。如果点积为零，那么这两个向量垂直。 设 $\mathbf{v} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})\mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a}$。我们需要计算 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{c}$。 \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = \left[ (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})\mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} \right] \cdot \mathbf{c} \] 利用点积的分配律，我们可以将表达式展开： \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \] 注意到 $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{c} \cdot \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{c} \cdot \mathbf{a}$，所以表达式可以重写为： \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) - (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \] 显然，两个项是相等的但符号相反，所以它们的和为零： \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = 0 \] 由于 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = 0$，向量 $\mathbf{c}$ 与向量 $(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})\mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a}$ 垂直。 因此，答案是 $\boxed{\text{对}}$。

解析

考查要点：本题主要考查向量垂直的判定条件以及点积的运算性质。
解题思路：两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零。因此，只需计算向量 $\mathbf{c}$ 与题目中给定的向量的点积，验证其是否为零即可。
关键点：

  1. 点积的分配律：展开表达式时需注意符号和运算顺序。
  2. 点积的交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$，用于简化表达式。

设向量 $\mathbf{v} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})\mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a}$，需验证 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = 0$。

步骤1：展开点积表达式

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = \left[ (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})\mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} \right] \cdot \mathbf{c}$
利用点积的分配律，拆分为两部分：
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})$

步骤2：简化表达式

根据点积的交换律 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{c} \cdot \mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{c} \cdot \mathbf{b}$，可将表达式改写为：
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) - (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a})$

步骤3：合并同类项

两个项完全相同但符号相反，因此相减后结果为零：
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{c} = 0$

结论：向量 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{v}$ 垂直。