题目

设n是正整数,记Sn为曲线 =(e)^-xsin x(0leqslant xleqslant npi ) 与x轴所围图形的 面 积,求Sn,并求limSn.-|||-n→∞

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算、分部积分法的应用，以及无穷级数求和的能力。关键在于将积分区间拆分为多个周期，利用绝对值的周期性简化计算，并转化为等比数列求和。

解题思路：

  1. 拆分积分区间：由于$\sin x$在每个区间$[k\pi, (k+1)\pi]$内的符号交替变化，利用绝对值性质将原积分拆分为多个区间的和。
  2. 分部积分计算：对每个区间内的积分使用分部积分法，得到通项表达式。
  3. 等比数列求和：将各区间积分结果求和，转化为等比数列求和公式。
  4. 极限分析：当$n \to \infty$时，分析等比数列的极限值。

拆分积分区间

曲线$y = e^{-x} \sin x$在区间$[k\pi, (k+1)\pi]$内$\sin x$的符号为$(-1)^k$，因此：
$S_n = \int_{0}^{n\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} \sin x \, dx$

计算单个区间积分

对$\int e^{-x} \sin x \, dx$使用分部积分法：

  1. 第一次分部积分：
    设$u = \sin x$，$dv = e^{-x} dx$，得：
    $\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$
  2. 第二次分部积分：
    设$u = \cos x$，$dv = e^{-x} dx$，得：
    $\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$
  3. 联立求解：
    代入后整理得：
    $\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{e^{-x}}{2} (\sin x + \cos x) + C$

代入区间上下限

在区间$[k\pi, (k+1)\pi]$内：

  • $x = k\pi$时，$\sin x = 0$，$\cos x = (-1)^k$；
  • $x = (k+1)\pi$时，$\sin x = 0$，$\cos x = (-1)^{k+1}$。

代入定积分表达式：
$\begin{aligned}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} \sin x \, dx &= \left. -\frac{e^{-x}}{2} (\sin x + \cos x) \right|_{k\pi}^{(k+1)\pi} \\&= \frac{e^{-k\pi}}{2} \left[ (-1)^k + (-1)^{k+1} e^{-\pi} \right] \\&= \frac{e^{-k\pi}}{2} (1 + e^{-\pi})\end{aligned}$

求和与极限

将各区间积分结果求和：
$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1 + e^{-\pi}}{2} e^{-k\pi} = \frac{1 + e^{-\pi}}{2} \cdot \frac{1 - e^{-n\pi}}{1 - e^{-\pi}}$
当$n \to \infty$时，$e^{-n\pi} \to 0$，故：
$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1 + e^{-\pi}}{2(1 - e^{-\pi})}$