填空题.lim _(xarrow 0)dfrac (arcsin 2x)(sin 2x)=

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换在求极限中的应用，以及对常见基本函数（如反正切函数和正弦函数）在无穷小量阶的掌握。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\arctan x$和$\sin x$都可以用它们的泰勒展开的一阶项近似，即$\arctan x \sim x$，$\sin x \sim x$。利用这一性质，将分子和分母中的高阶无穷小量替换为一次项，从而简化极限计算。

破题关键点：

1. 识别等价无穷小关系：明确$\arctan 2x$和$\sin 2x$在$x \rightarrow 0$时的等价形式。
2. 正确替换并化简：将分子和分母分别替换为对应的线性项后，直接约分求极限。

当$x \rightarrow 0$时，根据等价无穷小公式：

• $\arctan 2x \sim 2x$
• $\sin 2x \sim 2x$

将原式中的分子和分母分别替换为对应的等价无穷小：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\arctan 2x}{\sin 2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{2x}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0} 1 = 1$