题目

质量为16,(kg)的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为f_(x)=6,(N)，f_(y)=-7,(N)。当t=0时，x=y=0，v_(x)=-2,(m)cdot(s)^-1，v_(y)=0。求当t=2,(s)时质点的速度和位矢。

质量为$16\,\text{kg}$的质点在$xOy$平面内运动，受一恒力作用，力的分量为$f_{x}=6\,\text{N}$，$f_{y}=-7\,\text{N}$。 当$t=0$时，$x=y=0$，$v_{x}=-2\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$，$v_{y}=0$。求当$t=2\,\text{s}$时质点的速度和位矢。

题目解答

答案

根据题目，质点质量 $ m = 16 \, \text{kg} $，受力 $ \mathbf{F} = 6\mathbf{i} - 7\mathbf{j} \, \text{N} $。初速度 $ \mathbf{v}_0 = -2\mathbf{i} \, \text{m/s} $，初位置 $ \mathbf{r}_0 = 0 $。

  1. 加速度计算：
    $a_x = \frac{F_x}{m} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \, \text{m/s}^2$
    $a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{-7}{16} \, \text{m/s}^2$

  2. 速度计算：
    $v_x = v_{0x} + a_x t = -2 + \frac{3}{8} \times 2 = -2 + \frac{3}{4} = -\frac{5}{4} \, \text{m/s}$
    $v_y = v_{0y} + a_y t = 0 + \left( -\frac{7}{16} \right) \times 2 = -\frac{7}{8} \, \text{m/s}$
    $\mathbf{v} = -\frac{5}{4}\mathbf{i} - \frac{7}{8}\mathbf{j} \, \text{m/s}$

  3. 位移计算：
    $x = v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2 = -2 \times 2 + \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} \times 4 = -4 + \frac{3}{4} = -\frac{13}{4} \, \text{m}$
    $y = v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times \left( -\frac{7}{16} \right) \times 4 = -\frac{7}{8} \, \text{m}$
    $\mathbf{r} = -\frac{13}{4}\mathbf{i} - \frac{7}{8}\mathbf{j} \, \text{m}$

最终结果：

  • 2秒时的速度：$ \mathbf{v} = -\frac{5}{4}\mathbf{i} - \frac{7}{8}\mathbf{j} \, \text{m/s} $
  • 2秒时的位移：$ \mathbf{r} = -\frac{13}{4}\mathbf{i} - \frac{7}{8}\mathbf{j} \, \text{m} $

解析

本题考查牛顿第二定律以及匀变速直线运动的速度和位移公式在二维平面运动中的应用。解题思路是先根据牛顿第二定律求出质点在$x$、$y$方向的加速度，再利用匀变速直线运动的速度公式求出$t = 2s$时质点在$x$、$y$方向的速度，进而得到速度矢量；最后利用匀变速直线运动的位移公式求出$t = 2s$时质点在$x$、$y$方向的位移，从而得到位矢。

  1. 计算加速度：
    • 根据牛顿第二定律$\vec{F}=m\vec{a}$，在$x$方向上，$F_x = ma_x$，已知$F_x = 6N$，$m = 16kg$，则$x$方向的加速度$a_x$为：
      $a_x=\frac{F_x}{m}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}m/s^2$
    • 在$y$方向上，$F_y = ma_y$，已知$F_y = -7N$，$m = 16kg$，则$y$方向的加速度$a_y$为：
      $a_y=\frac{F_y}{m}=\frac{-7}{16}m/s^2$
  2. 计算$t = 2s$时的速度：
    • 对于匀变速直线运动，速度公式为$v = v_0 + at$。在$x$方向上，已知$v_{0x} = -2m/s$，$a_x=\frac{3}{8}m/s^2$，$t = 2s$，则$t = 2s$时$x$方向的速度$v_x$为：
      $v_x = v_{0x} + a_x t=-2+\frac{3}{8}\times2=-2+\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}m/s$
    • 在$y$方向上，已知$v_{0y} = 0m/s$，$a_y=\frac{-7}{16}m/s^2$，$t = 2s$，则$t = 2s$时$y$方向的速度$v_y$为：
      $v_y = v_{0y} + a_y t=0+\left(-\frac{7}{16}\right)\times2=-\frac{7}{8}m/s$
    • 所以$t = 2s$时质点的速度矢量$\vec{v}$为：
      $\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}=-\frac{5}{4}\vec{i}-\frac{7}{8}\vec{j}m/s$
  3. 计算$t = 2s$时的位矢：
    • 对于匀变速直线运动，位移公式为$x = v_0t+\frac{1}{2}at^2$。在$x$方向上，已知$v_{0x} = -2m/s$，$a_x=\frac{3}{8}m/s^2$，$t = 2s$，则$t = 2s$时$x$方向的位移$x$为：
      $x = v_{0x}t+\frac{1}{2}a_x t^2=-2\times2+\frac{1}{2}\times\frac{3}{8}\times2^2=-4+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}m$
    • 在$y$方向上，已知$v_{0y} = 0m/s$，$a_y=\frac{-7}{16}m/s^2$，$t = 2s$，则$t = 2s$时$y$方向的位移$y$为：
      $y = v_{0y}t+\frac{1}{2}a_y t^2=0+\frac{1}{2}\times\left(-\frac{7}{16}\right)\times2^2=-\frac{7}{8}m$
    • 所以$t = 2s$时质点的位矢$\vec{r}$为：
      $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}=-\frac{13}{4}\vec{i}-\frac{7}{8}\vec{j}m$