题目
下列函数在原点可微的是（ ）、A.f(x,y)= ^2+{y)^2}, (x,y)neq (0,0) 0, (x,y)=(0,0) .
下列函数在原点可微的是（ ）、
题目解答
答案
解：对于A选项可另y=kx（
,k∈R）
∴f（x，y）在（0，0）不连续 A错误
对于B选项f(0,0)=0,f在（0,0）点连续
若x>0,y>0
当x=y=0时无意义，函数在原点偏导数不存在 ∴函数在原点不可微 B错误
对于C选项 u（0,0）=1
函数在原点连续且偏导都存在 C正确
对于D选项f（0,0）=0 函数在原点连续
若x>0,y>0，f(x,y)=x+y
若x<0,y<0，f(x,y)=-x-y
互相矛盾 ∴函数在原点偏导数不存在 D错误
故答案为C
解析
步骤 1：分析选项A
对于选项A，函数在原点的极限值依赖于路径，即当y=kx时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {k{x}^{2}}{(1+{k}^{2}){x}^{2}}=\dfrac {k}{1+{k}^{2}}$，这表明函数在原点的极限值随路径不同而变化，因此函数在原点不连续，不可微。
步骤 2：分析选项B
对于选项B，函数在原点连续，但当x>0,y>0时，$f(x,y)=\sqrt {xy}$，$\dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {y}{2\sqrt {xy}}$，当x=y=0时无意义，因此函数在原点偏导数不存在，不可微。
步骤 3：分析选项C
对于选项C，函数在原点连续且偏导数存在，$u(0,0)=1$，$\dfrac {\partial u}{\partial x}|_{(0,0)}=2x|_{(0,0)}=0$，$\dfrac {\partial u}{\partial y}|_{(0,0)}=2y|_{(0,0)}=0$，因此函数在原点可微。
步骤 4：分析选项D
对于选项D，函数在原点连续，但当x>0,y>0时，f(x,y)=x+y，$\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(0,0)}=1$，$\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(0,0)}=1$，当x<0,y<0时，f(x,y)=-x-y，$\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(0,0)}=-1$，$\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(0,0)}=-1$，因此函数在原点偏导数不存在，不可微。
对于选项A，函数在原点的极限值依赖于路径，即当y=kx时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {k{x}^{2}}{(1+{k}^{2}){x}^{2}}=\dfrac {k}{1+{k}^{2}}$，这表明函数在原点的极限值随路径不同而变化，因此函数在原点不连续，不可微。
步骤 2：分析选项B
对于选项B，函数在原点连续，但当x>0,y>0时，$f(x,y)=\sqrt {xy}$，$\dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {y}{2\sqrt {xy}}$，当x=y=0时无意义，因此函数在原点偏导数不存在，不可微。
步骤 3：分析选项C
对于选项C，函数在原点连续且偏导数存在，$u(0,0)=1$，$\dfrac {\partial u}{\partial x}|_{(0,0)}=2x|_{(0,0)}=0$，$\dfrac {\partial u}{\partial y}|_{(0,0)}=2y|_{(0,0)}=0$，因此函数在原点可微。
步骤 4：分析选项D
对于选项D，函数在原点连续，但当x>0,y>0时，f(x,y)=x+y，$\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(0,0)}=1$，$\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(0,0)}=1$，当x<0,y<0时，f(x,y)=-x-y，$\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(0,0)}=-1$，$\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(0,0)}=-1$，因此函数在原点偏导数不存在，不可微。