2.(5.0分) 已 知 lim _(x arrow infty )((x^2)/(1+x)-a x-b)=0, 则两个常 数( ).A. a = - 1, b = - 1B. a = 1, b = 1C. a = 1, b = - 1D. a = - 1, b = 1

考查要点：本题主要考查分式在无穷远处的极限以及多项式展开的应用，需要将分式分解为多项式与余项之和，通过比较系数确定未知常数。

解题核心思路：
将分式 $\frac{x^2}{1+x}$ 进行多项式除法展开，得到多项式部分和余项。当 $x \to \infty$ 时，余项趋于 $0$，此时多项式部分应与 $ax + b$ 相等，从而确定 $a$ 和 $b$ 的值。

破题关键点：

1. 分解分式：将 $\frac{x^2}{1+x}$ 写成多项式形式，如 $x - 1 + \frac{1}{x+1}$。
2. 比较系数：令展开后的多项式部分与 $ax + b$ 相等，解出 $a$ 和 $b$。
3. 余项处理：余项 $\frac{1}{x+1}$ 在 $x \to \infty$ 时趋于 $0$，无需额外考虑。

将分式 $\frac{x^2}{1+x}$ 进行多项式除法分解：

1. 分解分式：
   $\frac{x^2}{1+x} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$
   推导过程：

   • 分子 $x^2$ 可表示为 $(x^2 - 1) + 1$，其中 $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$。
   • 因此，$\frac{x^2}{1+x} = \frac{(x-1)(x+1) + 1}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$。

2. 代入原式并整理：
   $\frac{x^2}{1+x} - ax - b = (x - 1 + \frac{1}{x+1}) - ax - b = (1 - a)x + (-1 - b) + \frac{1}{x+1}$

3. 分析极限条件：
   当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x+1} \to 0$，因此剩余部分 $(1 - a)x + (-1 - b)$ 必须趋于 $0$。

   • 系数为零：
     $1 - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1$
   • 常数项为零：
     $-1 - b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1$