题目
4.6 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=}x+y,0le x,yle 1,0,其他.求E(XY).
4.6 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为
$f(x,y)=\begin{cases}x+y,0\le x,y\le 1,\\0,其他.\end{cases}$
求E(XY).
题目解答
答案
根据期望的定义，有：
$$
E(XY) = \int_0^1 \int_0^1 xy(x + y) \, dx \, dy.
$$
展开被积函数得：
$$
xy(x + y) = x^2y + xy^2.
$$
分别对 $x$ 和 $y$ 积分：
$$
\int_0^1 \int_0^1 x^2y \, dx \, dy = \int_0^1 \left[ \frac{x^3y}{3} \right]_0^1 \, dy = \int_0^1 \frac{y}{3} \, dy = \frac{1}{6},
$$
$$
\int_0^1 \int_0^1 xy^2 \, dx \, dy = \int_0^1 \left[ \frac{xy^2}{2} \right]_0^1 \, dy = \int_0^1 \frac{y^2}{2} \, dy = \frac{1}{6}.
$$
相加得：
$$
E(XY) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.
$$
**答案：** $\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查二维连续型随机变量的期望计算，需要掌握二重积分的计算方法以及期望的定义式。
解题核心思路：
根据期望的定义，直接代入联合概率密度函数，计算二重积分。关键在于正确展开被积函数并分步积分，注意积分顺序和积分变量的处理。
破题关键点：
- 明确积分区域：由于概率密度函数在$0 \le x,y \le 1$时非零，积分限均为$0$到$1$。
- 展开被积函数：将$xy(x+y)$拆分为$x^2y + xy^2$，分别积分后相加。
- 分步积分：先对$x$积分，再对$y$积分，简化计算过程。
根据期望的定义，有：
$E(XY) = \int_0^1 \int_0^1 xy \cdot f(x,y) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^1 xy(x + y) \, dx \, dy.$
展开被积函数：
$xy(x + y) = x^2y + xy^2.$
分步积分：
积分第一项 $\int_0^1 \int_0^1 x^2y \, dx \, dy$
- 对$x$积分：
$\int_0^1 x^2y \, dx = y \cdot \int_0^1 x^2 \, dx = y \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{y}{3}.$ - 对$y$积分：
$\int_0^1 \frac{y}{3} \, dy = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{6}.$
积分第二项 $\int_0^1 \int_0^1 xy^2 \, dx \, dy$
- 对$x$积分：
$\int_0^1 xy^2 \, dx = y^2 \cdot \int_0^1 x \, dx = y^2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{y^2}{2}.$ - 对$y$积分：
$\int_0^1 \frac{y^2}{2} \, dy = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{6}.$
相加结果：
$E(XY) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.$