题目
例2.16 计算不定积分 int (sin )^2x(cos )^3xdx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将原式变形
原式 $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$ 可以写成 $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\cos xdx$，因为 $\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x$。
步骤 2：使用三角恒等式
利用三角恒等式 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$，将原式进一步变形为 $\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)d\sin x$。
步骤 3：进行积分
将上式拆分为两个积分 $\int {\sin }^{2}xd\sin x-\int {\sin }^{4}xd\sin x$，分别计算这两个积分。
步骤 4：计算积分
$\int {\sin }^{2}xd\sin x$ 的结果为 $\dfrac {1}{3}{\sin }^{3}x$，$\int {\sin }^{4}xd\sin x$ 的结果为 $\dfrac {1}{5}{\sin }^{5}x$。
步骤 5：合并结果
将两个积分的结果合并，得到最终答案。
原式 $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$ 可以写成 $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\cos xdx$，因为 $\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x$。
步骤 2：使用三角恒等式
利用三角恒等式 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$，将原式进一步变形为 $\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)d\sin x$。
步骤 3：进行积分
将上式拆分为两个积分 $\int {\sin }^{2}xd\sin x-\int {\sin }^{4}xd\sin x$，分别计算这两个积分。
步骤 4：计算积分
$\int {\sin }^{2}xd\sin x$ 的结果为 $\dfrac {1}{3}{\sin }^{3}x$，$\int {\sin }^{4}xd\sin x$ 的结果为 $\dfrac {1}{5}{\sin }^{5}x$。
步骤 5：合并结果
将两个积分的结果合并，得到最终答案。