int dfrac (1-x)(sqrt {9-4{x)^2}}dx=________

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分式拆分、三角替换和代数替换的应用。

解题核心思路：将积分拆分为两个更简单的积分之差，分别处理。第一个积分通过三角替换转化为反正弦函数，第二个积分通过代数替换（利用微分形式）转化为幂函数积分。

破题关键点：

1. 拆分积分：将分子中的$1$和$-x$分开处理，简化计算。
2. 三角替换：对$\int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}}dx$，令$2x=3\sin t$，转化为标准反正弦积分。
3. 代数替换：对$\int \frac{x}{\sqrt{9-4x^2}}dx$，令$u=9-4x^2$，利用微分形式简化积分。

步骤1：拆分积分

将原积分拆分为两个部分：
$\int \frac{1-x}{\sqrt{9-4x^2}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}}dx - \int \frac{x}{\sqrt{9-4x^2}}dx$

步骤2：计算第一个积分

三角替换：令$2x = 3\sin t$，则$x = \frac{3}{2}\sin t$，$dx = \frac{3}{2}\cos t dt$，且$\sqrt{9-4x^2} = 3\cos t$。代入得：
$\int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}}dx = \int \frac{\frac{3}{2}\cos t dt}{3\cos t} = \frac{1}{2}\int dt = \frac{1}{2}t + C_1 = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2x}{3}\right) + C_1$

步骤3：计算第二个积分

代数替换：令$u = 9-4x^2$，则$du = -8x dx$，即$x dx = -\frac{1}{8}du$。代入得：
$\int \frac{x}{\sqrt{9-4x^2}}dx = -\frac{1}{8}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du = -\frac{1}{8} \cdot 2\sqrt{u} + C_2 = -\frac{1}{4}\sqrt{9-4x^2} + C_2$

步骤4：合并结果

将两部分结果合并：
$\int \frac{1-x}{\sqrt{9-4x^2}}dx = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2x}{3}\right) + \frac{1}{4}\sqrt{9-4x^2} + C$