设函数 f(x)在 f(x)上有二阶导数,且 f(x),证明:至少存在一个f(x)使 f(x)

考查要点：本题主要考查微分中值定理（罗尔定理）的应用，以及通过构造辅助函数解决微分方程存在性问题的能力。

解题核心思路：

1. 两次应用罗尔定理：首先对原函数$f(x)$应用罗尔定理，得到一阶导数为零的点；再构造辅助函数$F(x)=f'(x)(x-1)^2$，在新的区间上应用罗尔定理，得到二阶导数满足特定关系的点。
2. 关键构造：通过分析目标方程$f''(\xi)=\dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi}$的结构，构造$F(x)$使其导数形式与目标方程直接关联，从而将问题转化为导数为零的存在性问题。

破题关键点：

• 辅助函数的构造：将目标方程变形后，发现$F(x)=f'(x)(x-1)^2$的导数形式能直接关联$f''(x)$和$f'(x)$，从而建立等式关系。
• 区间的选择：利用$f(0)=f(1)=0$得到$f'(η)=0$，进而选择区间$[η,1]$应用罗尔定理，确保$F(x)$在端点处取值为零。

步骤1：应用罗尔定理于$f(x)$
由$f(0)=f(1)=0$且$f(x)$在$[0,1]$上可导，根据罗尔定理，存在$η∈(0,1)$，使得$f'(η)=0$。

步骤2：构造辅助函数$F(x)$
定义$F(x)=f'(x)(x-1)^2$，则：

• $F(η)=f'(η)(η-1)^2=0$（因$f'(η)=0$）；
• $F(1)=f'(1)(1-1)^2=0$。

因此，$F(x)$在区间$[η,1]$上满足罗尔定理的条件。

步骤3：对$F(x)$应用罗尔定理
在区间$[η,1]$上，$F(x)$连续且可导，且$F(η)=F(1)=0$，故存在$ξ∈(η,1)⊂(0,1)$，使得$F'(ξ)=0$。

步骤4：展开$F'(ξ)=0$的表达式
计算$F'(x)$：
$F'(x) = f''(x)(x-1)^2 + f'(x) \cdot 2(x-1)$
令$F'(ξ)=0$，得：
$f''(ξ)(ξ-1)^2 + 2f'(ξ)(ξ-1) = 0$
两边除以$(ξ-1)$（注意$ξ≠1$）：
$f''(ξ)(ξ-1) + 2f'(ξ) = 0$
整理得：
$f''(ξ) = \dfrac{2f'(ξ)}{1-ξ}$
即存在$ξ∈(0,1)$满足题设方程。