题目
原式为：lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({e)^x-1}-dfrac (1)(ln (1+x)))= )=
原式为：
题目解答
答案
原式有：
通分得到：
等价无穷小替换：
两次洛必达法则：
带入x趋于零时
得到本式等于-1
结果为-1
解析
步骤 1：通分
将原式中的两个分式通分，得到一个共同的分母。
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{{e}^{x}-1}-\dfrac {1}{\ln (1+x)}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{({e}^{x}-1)\ln (1+x)})$$
步骤 2：等价无穷小替换
利用等价无穷小替换，将分母中的${e}^{x}-1$和$\ln (1+x)$替换为$x$，因为当$x$趋于$0$时，${e}^{x}-1$和$\ln (1+x)$都与$x$等价。
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{({e}^{x}-1)\ln (1+x)}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{{x}^{2}})$$
步骤 3：洛必达法则
由于分子和分母在$x$趋于$0$时都趋于$0$，所以可以使用洛必达法则，对分子和分母分别求导。
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{{x}^{2}}) = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{1+x}-{e}^{x}}{2x}$$
步骤 4：再次使用洛必达法则
由于分子和分母在$x$趋于$0$时都趋于$0$，所以再次使用洛必达法则，对分子和分母分别求导。
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{1+x}-{e}^{x}}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac {1}{(1+x)^{2}}-{e}^{x}}{2}$$
步骤 5：带入$x$趋于$0$时的值
将$x$趋于$0$时的值代入上式，得到最终结果。
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac {1}{(1+x)^{2}}-{e}^{x}}{2} = \dfrac {-1-1}{2} = -1$$
将原式中的两个分式通分，得到一个共同的分母。
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{{e}^{x}-1}-\dfrac {1}{\ln (1+x)}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{({e}^{x}-1)\ln (1+x)})$$
步骤 2：等价无穷小替换
利用等价无穷小替换，将分母中的${e}^{x}-1$和$\ln (1+x)$替换为$x$，因为当$x$趋于$0$时，${e}^{x}-1$和$\ln (1+x)$都与$x$等价。
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{({e}^{x}-1)\ln (1+x)}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{{x}^{2}})$$
步骤 3：洛必达法则
由于分子和分母在$x$趋于$0$时都趋于$0$，所以可以使用洛必达法则，对分子和分母分别求导。
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\ln (1+x)-({e}^{x}-1)}{{x}^{2}}) = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{1+x}-{e}^{x}}{2x}$$
步骤 4：再次使用洛必达法则
由于分子和分母在$x$趋于$0$时都趋于$0$，所以再次使用洛必达法则，对分子和分母分别求导。
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{1+x}-{e}^{x}}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac {1}{(1+x)^{2}}-{e}^{x}}{2}$$
步骤 5：带入$x$趋于$0$时的值
将$x$趋于$0$时的值代入上式，得到最终结果。
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac {1}{(1+x)^{2}}-{e}^{x}}{2} = \dfrac {-1-1}{2} = -1$$