0 (1) -1 (1) 3-|||-已知向量组A:α1= 1 _(2)= 1 及向量组B:β1= 0 β2= 2 β3= 2-|||-1) 0 1 1 J -1-|||-6.则 () ,-|||-A 向量组 A不能由向量组 B线性表示;-|||-B 向量组A能由向量组B线性表示,反之不然;-|||-C 向量组 A 与向量组 B等价.-|||-D 向量组B不能由向量组 A线性表示;

本题考查向量组线性表示及等价的判定，核心是通过矩阵的秩和线性方程组解的存在性来分析。

步骤1：明确向量组A和B的矩阵表示

• 向量组A：$\alpha_1=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$，构成矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2)=\begin{pmatrix}0&1\\1&3\\1&1\end{pmatrix}$。
• 向量组B：$\beta_1=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\6\end{pmatrix}$，构成矩阵$B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&1&-1\\1&0&6\end{pmatrix}$。

步骤2：计算矩阵的秩

矩阵$B$的秩

对$B$作初等行变换：
$B=\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&1&-1\\1&0&6\end{pmatrix}\xrightarrow{R_3+R_1}\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&1&-1\\0&2&7\end{pmatrix}\xrightarrow{R_3-2R_2}\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&1&-1\\0&0&9\end{pmatrix}$
行阶梯形矩阵有3个非零行，故$r(B)=3$（满秩）。

矩阵$A$的秩

对$A$作初等行变换：
$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&3\\1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\\1&1\end{pmatrix}\\xrightarrow{R_3-R_1}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\\0&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{R_3+2R_2}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$
行阶梯形有2个非零行，故$r(A)=2$。

步骤3：判断线性表示与等价性

向量组A能否由B线性表示？

$B$满秩（$r(B)=3$），其列向量组线性无关，且$B$是3阶方阵，故$B$可逆。对任意向量$\alpha\in\mathbb{R}^3$，线性方程组$Bx=\alpha$总有唯一解，即任意3维向量都能由B线性表示，因此向量组A能由B线性表示。

向量组B能否由A线性表示？

$A$是$3\times2$矩阵，$r(A)=2<3$，而$B$的列向量是3维向量，线性方程组$Ax=\beta_i$（$i=1,2,3$）的系数矩阵秩$r(A)=2<$增广矩阵秩（因$\beta_i$线性无关，增广矩阵秩至少为3），故方程组无解，即B不能由A线性表示。

向量组等价性

等价要求互相线性表示，因B不能由A表示，故A与B不等价。

结论

只有“向量组A能由B线性表示，反之不然”成立。