15.(本题3分)-|||-一驻波表达式为 =Acos 2pi xcos 100pi t. 位于 _(1)=3/8m 的质元P1与位于 _(2)=5/8m-|||-处的质元P2的振动相位差为 __

本题考查驻波中质元振动相位差的计算，关键是明确驻波中各质元的振动方程形式及相位差的计算方法。

步骤1：驻波中质元的振动方程

驻波表达式为 $y = A\cos 2\pi x \cos 100\pi t$，可改写为 $y = [A\cos 2\pi x] \cos 100\pi t$。
对于驻波中任意位置 $x$ 的质元，其振动方程为 $y = (A'\cos 2\pi x) \cos \omega t$，其中 $A'\\ = A\cos 2\pi x$”是该质元的振幅（与位置有关），而振动的相位因子仅由 $\cos \omega t$ 决定，即所有质元的振动频率相同，相位差仅由位置相关的振幅项隐含的相位决定吗？不，更准确的是：驻波中各质元的振动是“同步”的吗？不，其实驻波是两个反向传播的行波叠加的结果，对于每个质元 $x$，其振动表达式为 $y(x,t) = 2A\cos kx \cos \omega t$（标准形式），其中 $k = 2\pi/\lambda$ 是波数。

关键结论：驻波中各质元的振动相位差——对于 $\cos kx \cos \omega t$ 形式，每个质元的振动相位随时间的变化是 $\omega t$，即所有质元的振动“步调”是否一致？比如，当 $\cos kx$ 为正时，质元沿 $y$ 轴正方向振动；当 $\cos kx$ 为负时，质元沿 $y$ 轴负方向振动，但它们的相位（对时间的依赖）是相同的吗？不，相位差应比较它们的振动状态差异。

步骤2：相位差的计算

对于两个质元 $x_1$ 和 $x_2$，它们的振动方程分别为：
$y_1 = A\cos(2\pi x_1)\cos(100\pi t)$
$y_2 = A\cos(2\pi x_2)\cos(100\pi t)$

关键分析：驻波中，质元的振动相位差并非来自 $k(x_2 - x_1)$（那是行波的相位差），而是看它们的“振动方向”是否相反。当 $\cos(2\pi x_1)$ 与 $\cos(2\pi x_2)$ 同号时，两质元振动方向相同（相位差为 $0$ 或 $2\pi$）；当异号时，振动方向相反（相位差为 $\pi$）。

步骤3：代入 $x_1 = 3/8\,\text{m}$ 和 $x_2 = 5/8\,\text{m}$

计算 $\cos(2\pi x_1)$ 和 $\cos(2\pi x_2)$：

• $2\pi x_1 = 2\pi \times 3/8 = 3\pi/4$，$\cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2$
• $2\pi x_2 = 2\pi \times 5/8 = 5\pi/4$，$\cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2$

两者 $\cos(2\pi x)$ 均为负，符号相同，说明两质元的振动方向始终一致，相位差为 $0$。