题目
8.设曲线y=e^x,y=e^-x及x=ln2所围成的平面图形为D.(1)求平面图形D的面积;(2)求该平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.
8.设曲线$y=e^{x}$,$y=e^{-x}$及x=ln2所围成的平面图形为D.
(1)求平面图形D的面积;
(2)求该平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.
题目解答
答案
(1) 求面积
由曲线 $y = e^x$,$y = e^{-x}$,和 $x = \ln 2$ 围成的图形,面积 $S$ 为:
$S = \int_{0}^{\ln 2} \left( e^x - e^{-x} \right) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{\ln 2} = \left( 2 + \frac{1}{2} \right) - 2 = \frac{1}{2}$
答案: $\boxed{\frac{1}{2}}$
(2) 求体积
使用圆柱壳法,体积 $V$ 为:
$V = 2\pi \int_{0}^{\ln 2} x \left( e^x - e^{-x} \right) \, dx$
计算得:
$\int_{0}^{\ln 2} x e^x \, dx = 2\ln 2 - 1, \quad \int_{0}^{\ln 2} x e^{-x} \, dx = \frac{1 - \ln 2}{2}$
故:
$V = 2\pi \left( 2\ln 2 - 1 - \frac{1 - \ln 2}{2} \right) = \pi \left( 5\ln 2 - 3 \right)$
答案: $\boxed{5\pi \ln 2 - 3\pi}$