3.[单选题]-|||-函数 =tan x 在 x=π/2处-|||-A 连续-|||-B 间断

考查要点：本题主要考查正切函数（$y=\tan x$）的连续性判断，涉及函数连续的定义及正切函数的图像特征。

解题核心思路：

1. 函数连续的条件：函数在某点连续需满足三点：①函数在该点有定义；②极限存在；③极限值等于函数值。
2. 正切函数的特性：正切函数在$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为整数）处无定义，且左右极限趋向于正无穷或负无穷，属于无穷间断点。

破题关键：

• 直接判断$x = \dfrac{\pi}{2}$是否在正切函数的定义域内，若不在，则函数在该点不连续。

步骤1：判断函数在$x = \dfrac{\pi}{2}$处是否有定义
正切函数$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，当$\cos x = 0$时，函数无定义。
解方程$\cos x = 0$得$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为整数）。
因此，$x = \dfrac{\pi}{2}$不在$\tan x$的定义域内。

步骤2：分析极限是否存在

• 当$x$从左侧趋近$\dfrac{\pi}{2}$时，$\cos x$趋近于$0^+$，$\sin x$趋近于$1$，故$\tan x \to +\infty$。
• 当$x$从右侧趋近$\dfrac{\pi}{2}$时，$\cos x$趋近于$0^-$，$\sin x$趋近于$1$，故$\tan x \to -\infty$。
  由于左右极限均不存在（趋向于无穷），故$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x$不存在。

结论：
函数在$x = \dfrac{\pi}{2}$处无定义且极限不存在，因此是间断点。