题目
10. 求由曲面 z=x^2+2y^2 及 z=6-2x^2-y^2 所围成的立体的体积.
10. 求由曲面 $z=x^{2}+2y^{2}$ 及 $z=6-2x^{2}-y^{2}$ 所围成的立体的体积.
题目解答
答案
将两曲面方程相等求交线：
\[ x^2 + 2y^2 = 6 - 2x^2 - y^2 \implies x^2 + y^2 = 2 \]
交线为圆，半径为 $\sqrt{2}$。
体积积分：
\[ V = \iint_D [6 - 3(x^2 + y^2)] \, dA \]
转换为极坐标：
\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3) \, dr \, d\theta \]
先对 $r$ 积分：
\[ \int_0^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3) \, dr = 3 \]
再对 $\theta$ 积分：
\[ V = 3 \cdot 2\pi = 6\pi \]
**答案：** $\boxed{6\pi}$
解析
步骤 1：确定交线
将两曲面方程相等求交线：\[ x^2 + 2y^2 = 6 - 2x^2 - y^2 \implies x^2 + y^2 = 2 \] 交线为圆，半径为 $\sqrt{2}$。
步骤 2：体积积分
体积积分：\[ V = \iint_D [6 - 3(x^2 + y^2)] \, dA \] 其中 $D$ 是 $x^2 + y^2 \leq 2$ 的区域。
步骤 3：转换为极坐标
转换为极坐标：\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3) \, dr \, d\theta \]
步骤 4：先对 $r$ 积分
先对 $r$ 积分：\[ \int_0^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3) \, dr = 3 \]
步骤 5：再对 $\theta$ 积分
再对 $\theta$ 积分：\[ V = 3 \cdot 2\pi = 6\pi \]
将两曲面方程相等求交线：\[ x^2 + 2y^2 = 6 - 2x^2 - y^2 \implies x^2 + y^2 = 2 \] 交线为圆，半径为 $\sqrt{2}$。
步骤 2：体积积分
体积积分：\[ V = \iint_D [6 - 3(x^2 + y^2)] \, dA \] 其中 $D$ 是 $x^2 + y^2 \leq 2$ 的区域。
步骤 3：转换为极坐标
转换为极坐标：\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3) \, dr \, d\theta \]
步骤 4：先对 $r$ 积分
先对 $r$ 积分：\[ \int_0^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3) \, dr = 3 \]
步骤 5：再对 $\theta$ 积分
再对 $\theta$ 积分：\[ V = 3 \cdot 2\pi = 6\pi \]