题目
已知两矢量: overrightarrow (a)=4overrightarrow (i)+3overrightarrow (j)-overrightarrow (k) , overrightarrow (b)=3overrightarrow (i)-4overrightarrow (j)+5overrightarrow (k) 若-|||-以a、b为两邻边作平行四边形,那么:-|||-(1)该平行四边形的短对角线长度为 __ ;-|||-(2)该平行四边形的面积为 __ o
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的模长
向量 $\overrightarrow{a}$ 的模长为 $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$。
向量 $\overrightarrow{b}$ 的模长为 $|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$。
步骤 2：计算向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的点积
向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的点积为 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + (-1) \cdot 5 = 12 - 12 - 5 = -5$。
步骤 3：计算向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角余弦值
向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角余弦值为 $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-5}{\sqrt{1300}} = \frac{-5}{10\sqrt{13}} = -\frac{1}{2\sqrt{13}}$。
步骤 4：计算向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角正弦值
向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角正弦值为 $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{52}} = \sqrt{\frac{51}{52}} = \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}}$。
步骤 5：计算平行四边形的短对角线长度
平行四边形的短对角线长度为 $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(4+3)^2 + (3-4)^2 + (-1+5)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 1 + 16} = \sqrt{66}$。
步骤 6：计算平行四边形的面积
平行四边形的面积为 $S = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \theta = \sqrt{26} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}} = \sqrt{1300} \cdot \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}} = 10\sqrt{13} \cdot \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}} = 5\sqrt{51}$。
向量 $\overrightarrow{a}$ 的模长为 $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$。
向量 $\overrightarrow{b}$ 的模长为 $|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$。
步骤 2：计算向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的点积
向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的点积为 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + (-1) \cdot 5 = 12 - 12 - 5 = -5$。
步骤 3：计算向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角余弦值
向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角余弦值为 $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-5}{\sqrt{1300}} = \frac{-5}{10\sqrt{13}} = -\frac{1}{2\sqrt{13}}$。
步骤 4：计算向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角正弦值
向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角正弦值为 $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{52}} = \sqrt{\frac{51}{52}} = \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}}$。
步骤 5：计算平行四边形的短对角线长度
平行四边形的短对角线长度为 $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(4+3)^2 + (3-4)^2 + (-1+5)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 1 + 16} = \sqrt{66}$。
步骤 6：计算平行四边形的面积
平行四边形的面积为 $S = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \theta = \sqrt{26} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}} = \sqrt{1300} \cdot \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}} = 10\sqrt{13} \cdot \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}} = 5\sqrt{51}$。