题目
二、判断题(共8题，共40分)1、方程((dx)/(dt))^5+((dx^3)/(dt))^4+(d^2x)/(dt^2)+t=0是5阶微分方程.√对×错2、y=e^2x是微分方程xy'-ylny=0的特解.√对×错3、}x-y+z=12x+y+z=4的方程分别是:点向式方程为:(x)/(-2)=(y)/(1)=(z-1)/(3)参数方程为:}x=-2ky=kz=3k+1一般方程为:}(x)/(-2)=(y)/(1)y)/(1)=(z-1)/(3)√对
二、判断题(共8题，共40分)
1、方程$(\frac{dx}{dt})^{5}+(\frac{dx^{3}}{dt})^{4}+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+t=0$是5阶微分方程.
√对
×错
2、$y=e^{2x}$是微分方程$xy'-ylny=0$的特解.
√对
×错
3、$\begin{cases}x-y+z=1\\2x+y+z=4\end{cases}$的方程分别是:
点向式方程为:$\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}$
参数方程为:$\begin{cases}x=-2k\\y=k\\z=3k+1\end{cases}$
一般方程为:$\begin{cases}\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}\\\frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}\end{cases}$
√对
题目解答
答案
1. **答案：×**
最高阶导数为$\frac{d^2x}{dt^2}$，故阶数为2，非5。
2. **答案：√**
代入$y = e^{2x}$得：
$xy' - y\ln y = x(2e^{2x}) - e^{2x}(2x) = 0$，满足方程。
3. **答案：√**
两平面法向量叉积得方向向量$(-2, 1, 3)$，
点向式、参数方程、一般方程均符合该方向向量。
**答案：**
1. ×
2. √
3. √
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
1 & \text{×} \\
2 & \text{√} \\
3 & \text{√} \\
\end{array}
}
\]
解析
本题主要考查微分方程阶数的判断、特解的验证以及空间直线方程方程的相关知识。
- 判断方程$(\frac{dx}{dt})^{5}+(\frac{dx^{3}}{dt})^{4}+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+t = 0$的阶数
- 解题思路：微分方程的阶数是指方程中出现的未知函数的最高阶数最高的导数的阶数。
- 解析：在方程$(\frac{dx}{dt})^{5}+(\frac{dx^{3}x}{dt})^{4}+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}t = 0$中，$\frac{dx}{dt}$是一阶导数，$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$是二阶导数，$\frac{dx^{3}x}{dt}$表述有误，推测为$\frac{d^{3}x}{dt^{3}}$，但无论怎样，方程中最高阶导数为$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$，所以该方程是二阶微分方程，而不是五阶数为$5$，故该说法错误。
- 判断$y = e^{2x}$是否为微分方程$xy'-y\ln y = 0$的特解
- 解题思路：若一个函数是某微分方程的特解，则将该函数及其导数代入微分方程后，方程左右两边相等。
- 解析：
- 首先对$1) \(y = e^{2x}$求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime=ae^{ax}$^\prime)，可得$y^\prime=(e^{2x})^\prime = 2e^{2x}$。
- 然后将$y = e^{2x}$和$y^\prime = 2e^{2x}$代入方程$2) \(xy'-y\ln y = 0$的左边，得到$x\cdot2e^{2x}-e^{2x}\ln(e^{2x})$。
- 根据对数运算法则$\ln(e^{ax}) = ax$，则$\(3$)式可化简为$2xe^{2x}-e^{2x}\cdot2x = 0$，与方程左边等于右边，所以$y = e^{2x}$是方程$xy'-y\ln y = 0$的特解，该说法正确。
- 判断直线方程相关内容的正确性
- 解题思路：先求出两平面交线的直线的方向向量，再根据直线的点向式、参数方程和一般方程的定义来判断所给方程是否正确。
- 解析：
- 对于平面$x - y+z = 1$，其法向量$\vec{n_1}=(1,-1,1)}$；对于平面$2x + y+z = 4$，其法向量$\vec{n_2=(2,1,1)$。
- 直线的方向向量\(\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&1\\ 2&1&1 \end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}\)
- 计算行列式：$\begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}=-1\times1 - 1\times1=-2$，$\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1\times1 - 2\times1=-1$，$\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}=1\times1-2\times(-1)=3$。
- 所以$\vec{s}=-2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(-2,1,3)$。
- 点向式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为方向向量），取$z = 1$，代入两平面方程$\begin{x - y+1 = 1\\2x + y+1 = 4}$，解得$x = 0,y = 0$，则点向式方程为$\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z - 1}{3}$。
- 参数方程$\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$，令$t = k$，则参数方程为$\begin{cases}x=-2k\\y=k\\z=3k + 1\end{cases}$。
- 一般方程是由两个平面方程联立而成，也可由点向式方程变形得到$\begin{cases}\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}\\\frac{y}{1}{}=\frac{z - 1}{3}\end{cases}$，所以所给的点向式方程、参数方程和一般方程均正确，该说法正确。