题目

已知曲线 =x(e)^x, 直线 =a(agt 0) 与x轴所围平面图形的面积为1,则由上述平-|||-面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为 __

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查定积分的应用，包括平面图形的面积计算和旋转体体积的求解，涉及分部积分法的运用。

解题核心思路：

  1. 确定参数$a$：利用平面图形的面积为1，建立关于$a$的方程，通过分部积分求解$a$的值。
  2. 计算旋转体体积：应用绕$x$轴旋转的体积公式，再次使用分部积分法计算定积分。

破题关键点：

  • 面积积分：正确写出面积表达式并求解$a$。
  • 体积公式：明确旋转体体积公式为$\pi \int y^2 dx$，并正确处理被积函数中的平方项。

步骤1：求参数$a$

平面图形由曲线$y = x e^x$、$x$轴、$x=0$和$x=a$围成，面积为：
$\int_0^a x e^x \, dx = 1$
分部积分：
设$u = x$，$dv = e^x dx$，则$du = dx$，$v = e^x$，得：
$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$
代入上下限：
$\left[ x e^x - e^x \right]_0^a = (a e^a - e^a) - (0 - 1) = a e^a - e^a + 1 = 1$
化简得：
$e^a (a - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1$

步骤2：求旋转体体积

体积公式为：
$V = \pi \int_0^1 (x e^x)^2 dx = \pi \int_0^1 x^2 e^{2x} dx$
分部积分两次：

  1. 设$u = x^2$，$dv = e^{2x} dx$，得：
    $\int x^2 e^{2x} dx = \frac{x^2 e^{2x}}{2} - \int x e^{2x} dx$
  2. 对$\int x e^{2x} dx$再次分部积分，设$u = x$，$dv = e^{2x} dx$，得：
    $\int x e^{2x} dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C$
    代入原积分并整理：
    $\int x^2 e^{2x} dx = \frac{x^2 e^{2x}}{2} - \frac{x e^{2x}}{2} + \frac{e^{2x}}{4} + C$
    代入上下限$0$到$1$：
    $\left[ \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{2} + \frac{e^2}{4} \right] - \left[ 0 - 0 + \frac{1}{4} \right] = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}$
    最终体积为：
    $$
    V = \pi \left( \frac{e^2 - 1}{4} \right) = \frac{\pi}{4} (e^2 - 1)