18.计算iint |x+y-1|dxdy，其中iint |x+y-1|dxdy

步骤 1：确定积分区域
$D$ 是一个在第一象限的单位圆，即 $x^2 + y^2 \leq 1$，$x \geq 0$，$y \geq 0$。这意味着我们只考虑圆的四分之一部分。

步骤 2：将积分区域分为两部分
根据 $x+y-1$ 的符号，将 $D$ 分为两部分：$D_1$ 和 $D_2$。$D_1$ 是 $x+y-1 \geq 0$ 的区域，$D_2$ 是 $x+y-1 < 0$ 的区域。$D_1$ 和 $D_2$ 的边界是直线 $x+y=1$ 与圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的交点。

步骤 3：计算 $D_1$ 和 $D_2$ 的积分
在 $D_1$ 上，$|x+y-1| = x+y-1$；在 $D_2$ 上，$|x+y-1| = -(x+y-1)$。因此，原积分可以写为：
$$
\iint_{D} |x+y-1| \, dxdy = \iint_{D_1} (x+y-1) \, dxdy - \iint_{D_2} (x+y-1) \, dxdy
$$
步骤 4：转换为极坐标
为了方便计算，将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则 $dxdy = rdrd\theta$。积分区域 $D$ 在极坐标系下为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。$D_1$ 和 $D_2$ 的边界在极坐标系下为 $r(\cos\theta + \sin\theta) = 1$，即 $r = \frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}$。

步骤 5：计算 $D_1$ 的积分
$$
\iint_{D_1} (x+y-1) \, dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}} (r\cos\theta + r\sin\theta - 1) r \, drd\theta
$$
步骤 6：计算 $D_2$ 的积分
$$
\iint_{D_2} (x+y-1) \, dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} (r\cos\theta + r\sin\theta - 1) r \, drd\theta
$$
步骤 7：计算总积分
将步骤 5 和步骤 6 的结果相减，得到总积分。